Winkel SS 2012: Unterschied zwischen den Versionen

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=Übungsblatt=
 
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{{pdf|Uebungsblatt_01.pdf|Das Übungsblatt zur Vorlesung}}
 
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=Videos=
 
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= Begriff des Winkels =
 
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== Identifizieren von Winkeln ==
 
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=== Repräsentanten und Gegenrepräsentanten ===
 
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In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
 
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{| class="wikitable center"
 
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|-
 
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| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
 
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| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
 
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| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
 
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|-
 
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| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
 
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|}
 
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''Tabelle 1''
 
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{| class="wikitable center"
 
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|- style="background: #DDFFDD;"
 
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! Winkelmodell
 
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! kein Winkelmodell
 
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|-
 
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|Punktmenge: <br />
 
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|Punktmenge: <br />
 
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|}
 
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=== Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung ===
 
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In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.
 
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Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.
 
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[http://www.ph-heidelberg.de/wp/gieding/Lehre/didaktik_5_8/flash/Trapez_Erarbeitung_drag.html Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:]
 
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== Realisieren von Winkeln ==
 
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=== Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs ===
 
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Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.
 
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=== Konstruktion eines Winkels ===
 
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Aufgabe: Zeichne einen Winkel
 
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Lösung:
 
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{| class="wikitable center"
 
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|- style="background: #DDFFDD;"
 
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! Konstruktionsschritt
 
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! Beschreibung
 
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| [[Bild:Winkel_konstruktiv_01.svg]]
 
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| Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
 
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| [[Bild:Winkel_konstruktiv_02.svg]]
 
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| Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.
 
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== Definition des Winkelbegriffs ==
 
== Definition des Winkelbegriffs ==
 
==== Definition V.1: (Winkel)====
 
==== Definition V.1: (Winkel)====
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::Unter einem Winkel <math>\angle pq</math> versteht man ... .
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::Ein Winkel ist ein Paar nichtidentischer Halbgeraden, die den Anfangspunkt gemeinsam haben. Die Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels. Der gemeinsame Anfangspunkt seiner Schenkel wird Scheitel(punkt) des Winkels genannt.
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=== Arten, Winkel zu beschreiben ===
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=== Arten, Winkel zu beschreiben bzw. zu bezeichnen ===
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Zur Bezeichnung von Winkeln werden üblicherweise kleine griechische Buchstaben verwendet. Über Punkte und Halbgeraden kann man Winkel wie folgt bezeichnen:
 
{| class="wikitable center "
 
{| class="wikitable center "
 
! Beispiel
 
! Beispiel
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=== Die Idee des gerichteten Winkels ===
 
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Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.
 
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== Das Innere eines Winkels ==
 
== Das Innere eines Winkels ==
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=== Definition des Inneren eines Winkels ===
 
=== Definition des Inneren eines Winkels ===
 
==== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) ====
 
==== Definition V.2: (Inneres eines Winkels) ====
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::Das Innere des Winkels <math>\ \angle ASB</math> ist ...
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::Das Innere des Winkels <math>\ \angle ASB</math> ist ist die Schnittmenge der beiden Halbebenen <math>SA,B^+</math> und <math>SB,A^+</math>.
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--[[Benutzer:Snooth|Snooth]] 16:16, 28. Jun. 2012 (CEST)
  
 
==== Satz V.1 ====
 
==== Satz V.1 ====
 
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
 
:: Das Innere eines Winkels ist konvex.
 
==== Beweis von Satz V.1 ====
 
==== Beweis von Satz V.1 ====
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::trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2
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::trivial entsprechend Satz IV.2, Satz IV.3 und der Definition V.2
  
 
=== Nullwinkel, gestreckte Winkel, überstumpfe Winkel? ===
 
=== Nullwinkel, gestreckte Winkel, überstumpfe Winkel? ===
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Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel, keinen Nullwinkel und keine gestreckten Winkel.
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Entsprechend Definitionen V.1 und V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel, keinen Nullwinkel und keine gestreckten Winkel.
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== Bis hierhin alles verstanden?==
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In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?
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| [[Bild: winkel_01.svg]] || [[Bild: winkel_02.svg]] || [[Bild: winkel_03.svg]] || [[Bild: winkel_04.svg]]
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| Punktmenge 1 || Punktmenge 2 || Punktmenge 3 || Punktmenge 4
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| [[Bild: winkel_05.svg]] || [[Bild: winkel_06.svg]] || [[Bild: winkel_07.svg]] || [[Bild: winkel_08.svg]]
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| Punktmenge 5 || Punktmenge 6 || Punktmenge 7 || Punktmenge 8
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|}
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<quiz display="simple">
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{Die blaue Punktmenge ist ein Winkel:}
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- Punktmenge 1
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- Punktmenge 2
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+ Punktmenge 3
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- Punktmenge 4
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+ Punktmenge 5
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- Punktmenge 6
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- Punktmenge 7
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+ Punktmenge 8
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</quiz>
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Bemerkung: Halbgeraden können natürlich nicht vollständig gezeichnet werden. Die Zeichnungen sind so zu verstehen, dass die Schenkel Halbgeraden sind.
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==Videos zum Winkelbegriff==
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{{#ev:youtube|z53LN9aGMOg}}
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{{#ev:youtube|M1pMJcQp9Is}}
  
 
= Scheitelwinkel und Nebenwinkel =
 
= Scheitelwinkel und Nebenwinkel =
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===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
 
===== Definition V.3: (Scheitelwinkel) =====
 
::Zwei Winkel bilden ein Paar von Scheitelwinkeln ....
 
::Zwei Winkel bilden ein Paar von Scheitelwinkeln ....
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Damit wir hier noch durchsehen, habe ich den hier eingetragenen Definitionen eine eigene Datei spendiert:<br />
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== Nebenwinkel ==
 
== Nebenwinkel ==
 
=== Beispiele und Gegenbeispiele ===
 
=== Beispiele und Gegenbeispiele ===
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Sie werden den Begriff des Nebenwinkels mit Ihren Schülern erarbeiten müssen. Entwickeln Sie ein Arbeitsblatt, das Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des Begriffs Scheitelwinkel enthält und binden Sie dieses in die folgende Datei ein:<br />
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Jeder von Ihnen könnte anhand von Skizzen Beispiele bzw. Gegenbespiele für Nebenwinkel identifizieren. Ihre Schüler könnten das sicherlich auch. Die Formulierung einer Definition ist schwieriger. In der folgenden Datei stellen wir verschiedene nicht korrekte Definitionsversuche vor. Sie sollen durch geeignete Skizzen zeigen, dass die Definitionen nicht ganz korrekt sind.<br />
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[[Datei:%2Am.g.%2A_Arbeitsblatt_Nebenwinkel.pdf]]<br />
 
[[Erarbeitung des Begriffs Nebenwinkel]]
 
[[Erarbeitung des Begriffs Nebenwinkel]]
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=== Definition ===
 
=== Definition ===
 
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
 
===== Definition V.4: (Nebenwinkel) =====
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::Zwei Winkel bilden ein Paar von Nebenwinkeln, wenn ....
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::Zwei Winkel bilden ein Paar von Nebenwinkeln, wenn ... .
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Damit wir hier noch durchsehen, habe ich den hier eingetragenen Definitionen eine eigene Datei spendiert:<br />
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Aktuelle Version vom 28. Juni 2012, 16:16 Uhr


Inhaltsverzeichnis

Definition des Winkelbegriffs

Definition V.1: (Winkel)

Ein Winkel ist ein Paar nichtidentischer Halbgeraden, die den Anfangspunkt gemeinsam haben. Die Halbgeraden heißen Schenkel des Winkels. Der gemeinsame Anfangspunkt seiner Schenkel wird Scheitel(punkt) des Winkels genannt.

Arten, Winkel zu beschreiben bzw. zu bezeichnen

Zur Bezeichnung von Winkeln werden üblicherweise kleine griechische Buchstaben verwendet. Über Punkte und Halbgeraden kann man Winkel wie folgt bezeichnen:

Beispiel Beschreibung in Zeichen Quelltext in Tex
Winkel pq.svg Winkel, der aus den beiden Strahlen \ p und \ q besteht. \angle pq \angle pq
Winkel ASB.svg Winkel, der aus den beiden Strahlen \ SA^+ und \ SB^+ besteht. \angle ASB \angle ASB

Das Innere eines Winkels

So ist es zu verstehen

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Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

Definition des Inneren eines Winkels

Definition V.2: (Inneres eines Winkels)

Das Innere des Winkels \ \angle ASB ist ist die Schnittmenge der beiden Halbebenen SA,B^+ und SB,A^+.

--Snooth 16:16, 28. Jun. 2012 (CEST)

Satz V.1

Das Innere eines Winkels ist konvex.

Beweis von Satz V.1

trivial entsprechend Satz IV.2, Satz IV.3 und der Definition V.2

Nullwinkel, gestreckte Winkel, überstumpfe Winkel?

Entsprechend Definitionen V.1 und V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel, keinen Nullwinkel und keine gestreckten Winkel.

Bis hierhin alles verstanden?

In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?

Winkel 01.svg Winkel 02.svg Winkel 03.svg Winkel 04.svg
Punktmenge 1 Punktmenge 2 Punktmenge 3 Punktmenge 4
Winkel 05.svg Winkel 06.svg Winkel 07.svg Winkel 08.svg
Punktmenge 5 Punktmenge 6 Punktmenge 7 Punktmenge 8

1. Die blaue Punktmenge ist ein Winkel:

Punktmenge 1
Punktmenge 2
Punktmenge 3
Punktmenge 4
Punktmenge 5
Punktmenge 6
Punktmenge 7
Punktmenge 8

Punkte: 0 / 0

Bemerkung: Halbgeraden können natürlich nicht vollständig gezeichnet werden. Die Zeichnungen sind so zu verstehen, dass die Schenkel Halbgeraden sind.

Videos zum Winkelbegriff

Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Sie werden den Begriff des Scheitelwinkels mit Ihren Schülern erarbeiten müssen. Entwickeln Sie ein Arbeitsblatt, das Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des Begriffs Scheitelwinkel enthält und binden Sie dieses in die folgende Datei ein:
Erarbeitung des Begriffs Scheitelwinkel

Definition

Definition V.3: (Scheitelwinkel)
Zwei Winkel bilden ein Paar von Scheitelwinkeln ....


Damit wir hier noch durchsehen, habe ich den hier eingetragenen Definitionen eine eigene Datei spendiert:
Definitionsversuche V3

Nebenwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Jeder von Ihnen könnte anhand von Skizzen Beispiele bzw. Gegenbespiele für Nebenwinkel identifizieren. Ihre Schüler könnten das sicherlich auch. Die Formulierung einer Definition ist schwieriger. In der folgenden Datei stellen wir verschiedene nicht korrekte Definitionsversuche vor. Sie sollen durch geeignete Skizzen zeigen, dass die Definitionen nicht ganz korrekt sind.
*m.g.* Arbeitsblatt Nebenwinkel.pdf
Erarbeitung des Begriffs Nebenwinkel

Definition

Definition V.4: (Nebenwinkel)
Zwei Winkel bilden ein Paar von Nebenwinkeln, wenn ... .


Damit wir hier noch durchsehen, habe ich den hier eingetragenen Definitionen eine eigene Datei spendiert:
DefinitionsversucheV4


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