Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
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::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math> eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>g</math>. Die Gerade<math>a</math> möge <math>g</math> in <math>P_0</math> und nur in <math>P_0</math> schneiden. <math>P_1, P_2, P_3, ..., P_n</math>sei eine Folge von Punkten auf <math>a</math> mit <math>\left|P_0P_1\right|=\left|P_1P_2\right|=\left|P_2P_3\right|=...=\left|P_{n-1}P_n\right|</math>. <math>P'_1, P'_2, P'_3, ..., P'_n</math> seiene die Bilder von <math>P_1, P_2, P_3, ..., P_n</math> bei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>.<br /> | ::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math> eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>g</math>. Die Gerade<math>a</math> möge <math>g</math> in <math>P_0</math> und nur in <math>P_0</math> schneiden. <math>P_1, P_2, P_3, ..., P_n</math>sei eine Folge von Punkten auf <math>a</math> mit <math>\left|P_0P_1\right|=\left|P_1P_2\right|=\left|P_2P_3\right|=...=\left|P_{n-1}P_n\right|</math>. <math>P'_1, P'_2, P'_3, ..., P'_n</math> seiene die Bilder von <math>P_1, P_2, P_3, ..., P_n</math> bei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>.<br /> | ||
::Dann gilt: <math>\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|</math>. | ::Dann gilt: <math>\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|</math>. | ||
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Version vom 16. Januar 2012, 12:25 Uhr
Zentralprojektionen
Wie kommt Lara Croft auf den Bildschirm?
Begriff der Zentralprojektion
Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)
- Es sei eine Ebene des Raumes und ein Punkt aus der nicht zu gehört.
Die Zentralprojektion ist eine Abbildung von auf die Ebene mit:
- Die Ebene heißt Bildebene bei der Zentralprojektion und der Punkt Zentralpunkt der .
- Es sei eine Ebene des Raumes und ein Punkt aus der nicht zu gehört.
Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)
- Versuchen Sie es selbst.
- Versuchen Sie es selbst.
Definition II.03: (Richtung)
- Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.
Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)
- Es sei eine Ebene des Raumes und eine Richtung mit .
- Unter der Parallelprojektion des Raumes auf die Bildebene mit der Projektionsrichtung versteht man die Abbildung von auf , die jedem Punkt derart auf sein Bild abbildet, dass gilt:
- mit
Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)
- Es sei eine Gerade der Ebene und eine Richtung in mit .
- Unter der Parallelprojektion der Ebene auf die Bildgerade versteht man die Abbildung, die jeden Punkt derart auf sein Bild abbildet, dass gilt:
- mit .
- In Zeichen:
Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)
- Es sei eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade . Jeder Punkt der Bildgeraden ist bezüglich ein Fixpunkt.
Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck
- Es sei eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien und die Mittelpunkte der Seiten bzw. des Dreiecks . Dann gilt:
- (I)
- (II)
- Es sei eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien und die Mittelpunkte der Seiten bzw. des Dreiecks . Dann gilt:
Satz II.03: Projektionssatz
- Es sei eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade . Die Gerade möge in und nur in schneiden. sei eine Folge von Punkten auf mit . seiene die Bilder von bei .
- Dann gilt: .
- Es sei eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade . Die Gerade möge in und nur in schneiden. sei eine Folge von Punkten auf mit . seiene die Bilder von bei .