Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Januar 2012, 12:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Zentralprojektionen

Zentralprojektionen

Wie kommt Lara Croft auf den Bildschirm?

Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\ \beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{R}$ und $\ Z$ ein Punkt aus $\mathfrak{R}$ der nicht zu $\ \beta$ gehört.
Die Zentralprojektion $\ ZP_{Z,\beta}$ ist eine Abbildung von $\mathfrak{R}\setminus{Z}$ auf die Ebene $\ \beta$ mit:
$\forall P \in \mathfrak{R}\setminus{Z}: ZP_{Z,\beta}(P)=ZP \cap \beta$

Die Ebene $\ \beta$ heißt Bildebene bei der Zentralprojektion $\ ZP_{Z,\beta}$ und der Punkt $\ Z$ Zentralpunkt der $\ ZP_{Z,\beta}$ .

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Versuchen Sie es selbst.

Definition II.03: (Richtung)

Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei $\ \beta$ eine Ebene des Raumes $\mathfrak{R}$ und $\mathcal{R}$ eine Richtung mit $\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \wedge g \subset \beta$ .

Unter der Parallelprojektion des Raumes $\mathfrak{R}$ auf die Bildebene $\ \beta$ mit der Projektionsrichtung $\mathcal{R}$ versteht man die Abbildung von $\mathfrak{R}$ auf $\ \beta$ , die jedem Punkt $\ P \in \mathfrak{R}$ derart auf sein Bild $\ P'$ abbildet, dass gilt:

$\left\{ P' \right\}=g \cap \beta$ mit $g \in \mathcal{R} \wedge P \in g$

Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Es sei $\ b$ eine Gerade der Ebene $\mathfrak{E}$ und $\mathcal{R}$ eine Richtung in $\mathfrak{E}$ mit $b \not\in \mathcal{R}$ .

Unter der Parallelprojektion der Ebene $\mathfrak{E}$ auf die Bildgerade $\ b$ versteht man die Abbildung, die jeden Punkt $\ P \in \mathfrak{E}$ derart auf sein Bild $\ P'$ abbildet, dass gilt:

$\left\{ P' \right\}= g \cap b$ mit $g \in \mathcal{R} \wedge P \in g$ .

In Zeichen: $\ PP_{\mathcal{R}, b}$

Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)

Es sei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$ eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $\ b$ . Jeder Punkt der Bildgeraden $\ b$ ist bezüglich $\ PP_{\mathcal{R}, b}$ ein Fixpunkt.

Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

Es sei $\overline{ABC}$ eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien $M_a$ und $M_b$ die Mittelpunkte der Seiten $a$ bzw. $b$ des Dreiecks $\overline{ABC}$ . Dann gilt:

(I) $M_aM_b \|| AB$

(II) $\left|M_aM_b \right| =\frac{\left|AB\right|}{2}$

Satz II.03: Projektionssatz

Es sei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$ eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade $g$ . Die Gerade $a$ möge $g$ in $P_0$ und nur in $P_0$ schneiden. $P_1, P_2, P_3, ..., P_n$ sei eine Folge von Punkten auf $a$ mit $\left|P_0P_1\right|=\left|P_1P_2\right|=\left|P_2P_3\right|=...=\left|P_{n-1}P_n\right|$ . $P'_1, P'_2, P'_3, ..., P'_n$ seiene die Bilder von $P_1, P_2, P_3, ..., P_n$ bei $\ PP_{\mathcal{R}, b}$ .

Dann gilt: $\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|$ .

Beweisidee

Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind.

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 ====Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)====
-:: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\mathcal{R}</math> eine Richtung mit <math>\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \and g \subset \beta</math>.
+:: Es sei <math>\ \beta</math> eine Ebene des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> und <math>\mathcal{R}</math> eine Richtung mit <math>\neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \wedge g \subset \beta</math>.
 ::Unter der Parallelprojektion des Raumes <math>\mathfrak{R}</math> auf die Bildebene <math>\ \beta</math> mit der Projektionsrichtung <math>\mathcal{R}</math> versteht man die Abbildung von <math>\mathfrak{R}</math> auf <math>\ \beta</math>, die jedem Punkt <math>\ P \in \mathfrak{R}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt:
-::<math>\left\{ P' \right\}=g \cap \beta</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \and P \in g</math>--[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 14:50, 18. Jan. 2011 (UTC)
+::<math>\left\{ P' \right\}=g \cap \beta</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \wedge P \in g</math>
-alte Version von Tja in der Diskussion.
 ====Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)====
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 ::Unter der Parallelprojektion der Ebene <math>\mathfrak{E}</math> auf die Bildgerade <math>\ b</math> versteht man die Abbildung, die jeden Punkt <math>\ P \in \mathfrak{E}</math> derart auf sein Bild <math>\ P'</math> abbildet, dass gilt:
-::<math>\left\{ P' \right\}= g \cap b</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \and P \in g</math>.
+::<math>\left\{ P' \right\}= g \cap b</math> mit <math>g \in \mathcal{R} \wedge P \in g</math>.
 ::In Zeichen: <math>\ PP_{\mathcal{R}, b}</math>
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 ====Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen) ====
 ::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>\ b</math>. Jeder Punkt der Bildgeraden <math>\ b</math> ist bezüglich <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>ein Fixpunkt.
-=== Satz von der Mittelparallelen im Dreieck ===
+=== Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck ===
+::Es sei <math>\overline{ABC}</math> eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien <math>M_a</math> und <math>M_b</math> die Mittelpunkte der Seiten <math>a</math> bzw. <math>b</math> des Dreiecks <math>\overline{ABC}</math>. Dann gilt: <br />
+::(I)  <math>M_aM_b \|| AB</math><br />
+::(II) <math>\left|M_aM_b \right| =\frac{\left|AB\right|}{2}</math>
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+===Satz II.03: Projektionssatz===
+::Es sei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math> eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade <math>g</math>. Die Gerade<math>a</math> möge <math>g</math> in <math>P_0</math> und nur in <math>P_0</math> schneiden. <math>P_1, P_2, P_3, ..., P_n</math>sei eine Folge von Punkten auf <math>a</math> mit <math>\left|P_0P_1\right|=\left|P_1P_2\right|=\left|P_2P_3\right|=...=\left|P_{n-1}P_n\right|</math>. <math>P'_1, P'_2, P'_3, ..., P'_n</math> seiene die Bilder von <math>P_1, P_2, P_3, ..., P_n</math> bei <math>\ PP_{\mathcal{R}, b} </math>.<br />
+::Dann gilt: <math>\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|</math>.
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+===Beweisidee===
+Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind.
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 [[Category:Elementargeometrie]]

Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 16. Januar 2012, 12:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Zentralprojektionen

Wie kommt Lara Croft auf den Bildschirm?

Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Definition II.03: (Richtung)

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)

Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

Satz II.03: Projektionssatz

Beweisidee

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