Zentralprojektion, Parallelprojektion (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

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::Dann gilt: <math>\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|</math>.
 
::Dann gilt: <math>\left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|</math>.
 
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===Beweisidee===
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Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind.
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[[Category:Elementargeometrie]]
 
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Aktuelle Version vom 16. Januar 2012, 12:33 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Zentralprojektionen

Wie kommt Lara Croft auf den Bildschirm?

Zentralperspektive zeichnen.png 358durer.jpg

Begriff der Zentralprojektion

Definition II.01: (Zentralprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei \ \beta eine Ebene des Raumes \mathfrak{R} und \ Z ein Punkt aus \mathfrak{R} der nicht zu \ \beta gehört.
Die Zentralprojektion \ ZP_{Z,\beta} ist eine Abbildung von \mathfrak{R}\setminus{Z} auf die Ebene \ \beta mit:
\forall P \in \mathfrak{R}\setminus{Z}: ZP_{Z,\beta}(P)=ZP \cap \beta
Die Ebene \ \beta heißt Bildebene bei der Zentralprojektion \ ZP_{Z,\beta} und der Punkt \ Z Zentralpunkt der \ ZP_{Z,\beta}.

Definition II.02: (Zentralprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Versuchen Sie es selbst.

Definition II.03: (Richtung)

Eine Richtung ist eine Äquivalenzklasse nach der Relation "parallel" auf der Menge aller Geraden.

Definition II.04: (Parallelprojektion des Raumes auf eine Ebene)

Es sei \ \beta eine Ebene des Raumes \mathfrak{R} und \mathcal{R} eine Richtung mit \neg \exist g: g \subset \mathcal{R} \wedge g \subset \beta.
Unter der Parallelprojektion des Raumes \mathfrak{R} auf die Bildebene \ \beta mit der Projektionsrichtung \mathcal{R} versteht man die Abbildung von \mathfrak{R} auf \ \beta, die jedem Punkt \ P \in \mathfrak{R} derart auf sein Bild \ P' abbildet, dass gilt:
\left\{ P' \right\}=g \cap \beta mit g \in \mathcal{R} \wedge P \in g

Definition II.05: (Parallelprojektion der Ebene auf eine Gerade)

Es sei \ b eine Gerade der Ebene \mathfrak{E} und \mathcal{R} eine Richtung in \mathfrak{E} mit b \not\in \mathcal{R}.
Unter der Parallelprojektion der Ebene \mathfrak{E} auf die Bildgerade \ b versteht man die Abbildung, die jeden Punkt \ P \in \mathfrak{E} derart auf sein Bild \ P' abbildet, dass gilt:
\left\{ P' \right\}= g \cap b mit g \in \mathcal{R} \wedge P \in g.
In Zeichen: \ PP_{\mathcal{R}, b}

Satz II.01: (Fixpunkte bei Parallelprojektionen)

Es sei \ PP_{\mathcal{R}, b} eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade \ b. Jeder Punkt der Bildgeraden \ b ist bezüglich \ PP_{\mathcal{R}, b} ein Fixpunkt.

Satz II.02: Satz von der Mittelparallelen im Dreieck

Es sei \overline{ABC} eine Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. Ferner seien M_a und M_b die Mittelpunkte der Seiten a bzw. b des Dreiecks \overline{ABC}. Dann gilt:
(I) M_aM_b \|| AB
(II) \left|M_aM_b \right| =\frac{\left|AB\right|}{2}

Satz II.03: Projektionssatz

Es sei \ PP_{\mathcal{R}, b} eine Parallelprojektion der Ebene auf die Gerade g. Die Geradea möge g in P_0 und nur in P_0 schneiden. P_1, P_2, P_3, ..., P_nsei eine Folge von Punkten auf a mit \left|P_0P_1\right|=\left|P_1P_2\right|=\left|P_2P_3\right|=...=\left|P_{n-1}P_n\right|. P'_1, P'_2, P'_3, ..., P'_n seiene die Bilder von P_1, P_2, P_3, ..., P_n bei \ PP_{\mathcal{R}, b} .
Dann gilt: \left|P_0P'_1\right|=\left|P'_1P'_2\right|=\left|P'_2P'_3\right|=...=\left|P'_{n-1}P'_n\right|.

Beweisidee

Zeigen, dass die blauen Dreiecke zueinander kongruent sind.

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