Aktuelle Version vom 22. Mai 2012, 23:09 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Zentrische Streckungen
- 1.1 Begriff der zentrischen Streckung
  - 1.1.1 Definition II.07: (zentrische Streckung)
- 1.2 Eigenschaften zentrischer Streckungen

Zentrische Streckungen

Begriff der zentrischen Streckung

Definition II.07: (zentrische Streckung)

Es sei $Z$ ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene $\varepsilon$ . Ferner sei Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}

. Unter der zentrischen Streckung $ZS_{Z,k}$ mit dem Streckzentrum $Z$ und dem Streckfaktor $k$ versteht man eine Abbildung von $\varepsilon$ auf sich mit $\forall P \in \varepsilon : ZS_{Z,k} (P) = Z + k \vec{ZP}$ .

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von $k$ und verschiedenen Positionen von $P$ (Strg + f löscht die Spur):

Eigenschaften zentrischer Streckungen

Satz II.08

Eine zentrische Streckung $ZS_{Z,k}$ ist genau dann die Identität, wenn $k=1$ gilt.

Beweis von Satz II.08

trivial, entsprechend der Definition II.07

Satz II.09

Es seien $A,B,C$ drei Punkte und $A',B',C'$ deren Bilder bei der zentrischen Streckung $ZS_{Z,k}$ . Wenn $\operatorname{koll}(A,B,C)$ , dann $\operatorname{koll}(A',B',C')$ .

Beweis von Satz II.09

Übungsaufgabe

Hinweise:

(I) $\operatorname{koll}(A,B,C) \Leftrightarrow \operatorname{Zw}(A,B,C) \vee \operatorname{Zw}(B,A,C) \vee \operatorname{Zw}(A,C,B)$

(II) $\operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow |AB|+|BC|=|AC|$

Den Rest erledigen die Strahlensätze.

Satz II.10: Korollar aus Satz II.09

Jede zentrische Streckung ist geradentreu.

Satz II.11

Für jede zentrische Streckung $ZS_{Z,k}$ gilt: Jede Gerade, die durch durch $Z$ geht, ist ein Fixgerade bei $ZS_{Z,k}$ .

Beweis II.11

trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.12

Es sei $g$ eine Gerade und $g'$ ihr Bild bei $ZS_{Z,k}$ . Es gilt: $g \|| g'$ .

Beweis von Satz II.12

Fall 1

$Z \in g$

Nach Satz II.11 gilt $g \equiv g'$ und damit $g \|| g'$ .

Fall 2

$Z \not\in g$

Annahme: $\exist S \in g \cap g'$

Fall 2.1: $\exist T \in g \cap g', T \not\equiv S$

trivial, $g \equiv g'$

Fall 2.2: Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{S\right}=g \cap g'

Übungsaufgabe

Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
 und .

Nun gilt: .

Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen
Streckung (also unserer Geraden g') parallel ist.
q. e. d.

--Flo60 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)

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 ==Begriff der zentrischen Streckung==
 ===Definition II.07: (zentrische Streckung)===
-::Es sei <math>Z</math> ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene <math>\varepsilon</math>. Ferner sei <math>k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}</math>. Unter der zentrischen Streckung <math>ZS_{Z,k}</math>mit dem Streckzentrum <math>Z</math> und dem Streckfaktor <math>k</math> versteht man eine Abbildung von <math>\varepsilon</math> auf sich mit <math>\forall P \in \varepsilon : ZS_{Z,k} (P) = Z + k \vec{ZP} </math>.
+::Es sei <math>Z</math> ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene <math>\varepsilon</math>. Ferner sei <math>k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}</math>. Unter der zentrischen Streckung <math>ZS_{Z,k}</math>mit dem Streckzentrum <math>Z</math> und dem Streckfaktor <math>k</math> versteht man eine Abbildung von <math>\varepsilon</math> auf sich mit <math>\forall P \in \varepsilon : ZS_{Z,k} (P) = Z + k \vec{ZP} </math>.<br /><br />
+Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von <math>k</math> und verschiedenen Positionen von <math>P</math> (Strg + f löscht die Spur):<br /><br />
+<ggb_applet width="784" height="463"  version="4.0" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "true" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
+==Eigenschaften zentrischer Streckungen==
+===Satz II.08===
+::Eine zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> ist genau dann die Identität, wenn <math>k=1</math> gilt.
+===Beweis von Satz II.08===
+::trivial, entsprechend der Definition II.07
+===Satz II.09===
+:: Es seien <math>A,B,C</math> drei Punkte und <math>A',B',C'</math> deren Bilder bei der zentrischen  Streckung <math>ZS_{Z,k}</math>.  Wenn <math>\operatorname{koll}(A,B,C)</math>, dann <math>\operatorname{koll}(A',B',C')</math>.
+===Beweis von Satz II.09===
+::Übungsaufgabe
+::Hinweise:
+::: (I) <math>\operatorname{koll}(A,B,C) \Leftrightarrow \operatorname{Zw}(A,B,C) \vee \operatorname{Zw}(B,A,C) \vee \operatorname{Zw}(A,C,B) </math>
+::: (II) <math>\operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow |AB|+|BC|=|AC|</math>
+::: Den Rest erledigen die Strahlensätze.
+===Satz II.10: Korollar aus Satz II.09===
+:: Jede zentrische Streckung ist geradentreu.
+===Satz II.11===
+::Für jede zentrische Streckung <math>ZS_{Z,k}</math> gilt: Jede Gerade, die durch durch <math>Z</math> geht, ist ein Fixgerade bei <math>ZS_{Z,k}</math>.
+===Beweis II.11===
+::trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)
+===Satz II.12===
+:: Es sei <math>g</math> eine Gerade und <math>g'</math> ihr Bild bei <math>ZS_{Z,k}</math>. Es gilt: <math>g \|| g'</math>.
+[[Kategorie:Elementargeometrie]]
+===Beweis von Satz II.12===
+====Fall 1====
+::<math>Z \in g</math>
+::: Nach Satz II.11 gilt <math>g \equiv g'</math> und damit <math>g \|| g'</math>.
+====Fall 2====
+:: <math>Z \not\in g</math>
+::: Annahme: <math>\exist S \in g \cap g'</math>
+::::Fall 2.1: <math>\exist T \in g \cap g', T \not\equiv S</math>
+::::trivial, <math>g \equiv g'</math>
+::::Fall 2.2: <math>\left{S\right}=g \cap g'</math>
+::::Übungsaufgabe
+ Seien P und Q zwei feste aber beliebige Punkte auf g. Nach Definition und Voraussetzung gilt nun für die Bilder von P und Q folgendes:
+ <math>|ZP'| = |ZP|k</math> und <math>|ZQ'| = |ZQ|k</math>.<br />
+ Nun gilt: <math>\frac{|ZQ|k} {|ZQ|} = \frac{|ZP|k} {|ZP|} = k </math>.<br />
+ Es gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes (I. STS), dass g zur Menge aller Bildpunkte von g bei einer zentrischen
+ Streckung (also unserer Geraden g') {{Schrift_orange|parallel ist.}}
+ q. e. d.
+<br />
+--[[Benutzer:HecklF|Flo60]] 23:05, 22. Mai 2012 (CEST)

Zentrische Streckungen (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 22. Mai 2012, 23:09 Uhr

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Zentrische Streckungen

Begriff der zentrischen Streckung

Definition II.07: (zentrische Streckung)

Eigenschaften zentrischer Streckungen

Satz II.08

Beweis von Satz II.08

Satz II.09

Beweis von Satz II.09

Satz II.10: Korollar aus Satz II.09

Satz II.11

Beweis II.11

Satz II.12

Beweis von Satz II.12

Fall 1

Fall 2

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