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Inhaltsverzeichnis

Zentrische Streckungen

Begriff der zentrischen Streckung

Definition II.07: (zentrische Streckung)

Es sei Z ein beliebig aber fest gewählter Punkt der Ebene \varepsilon. Ferner sei Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): k \in \mathbb{R} \setminus\left{ 0 \right}

. Unter der zentrischen Streckung ZS_{Z,k}mit dem Streckzentrum Z und dem Streckfaktor k versteht man eine Abbildung von \varepsilon auf sich mit \forall P \in \varepsilon : ZS_{Z,k} (P) = Z + k \vec{ZP} .

Experimentieren Sie mit verschiedenen Werten von k und verschiedenen Positionen von P (Strg + f löscht die Spur):

Eigenschaften zentrischer Streckungen

Satz II.08

Eine zentrische Streckung ZS_{Z,k} ist genau dann die Identität, wenn k=1 gilt.

Beweis von Satz II.08

trivial, entsprechend der Definition II.07

Satz II.09

Es seien A,B,C drei Punkte und A',B',C' deren Bilder bei der zentrischen Streckung ZS_{Z,k}. Wenn \operatorname{koll}(A,B,C), dann \operatorname{koll}(A',B',C').

Beweis von Satz II.09

Übungsaufgabe
Hinweise:
(I) \operatorname{koll}(A,B,C) \Leftrightarrow \operatorname{Zw}(A,B,C) \vee \operatorname{Zw}(B,A,C) \vee \operatorname{Zw}(A,C,B)
(II) \operatorname{Zw}(A,B,C) \Leftrightarrow |AB|+|BC|=|AC|
Den Rest erledigen die Strahlensätze.

Satz II.10: Korollar aus Satz II.09

Jede zentrische Streckung ist geradentreu.

Satz II.11

Für jede zentrische Streckung ZS_{Z,k} gilt: Jede Gerade, die durch durch Z geht, ist ein Fixgerade bei ZS_{Z,k}.

Beweis II.11

trivial (Der Leser überzeuge sich davon.)

Satz II.12

Es sei g eine Gerade und g' ihr Bild bei ZS_{Z,k}. Es gilt: g \|| g'.

Beweis von Satz II.12

Fall 1

Z \in g
Nach Satz II.11 gilt g \equiv g' und damit g \|| g'.

Fall 2

Z \not\in g
Annahme: \exist S \in g \cap g'
Fall 2.1: \exist T \in g \cap g', T \not\equiv S
trivial, g \equiv g'
Fall 2.2: Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left{S\right}=g \cap g'