Übung 26.01.15(=alt Übung 03.02.)

Aufgabe 1

a) Prüfen Sie, ob die Vektoren $v_1 = (4,4,4),\; v_2 = (2,4,6)$ und $v_3 = (3,4,5)$ ein Erzeugendensystem von${\mathbb R}^3$ bilden.
b) Untersuchen Sie, für welche $t \in {\mathbb R}$ die Vektoren $v_1 = (1,3,4)\,, \;\, v_2 = (3,t,11)\,, \;\, v_3 = (-4,-4,0)$ linear abhängig in ${\mathbb R}^3$ sind.

Aufgabe 2

Zeigen Sie, dass die Vektoren $\vec{a}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\\0 \end{pmatrix}$, $\vec{b}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}$, $\vec{c}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2\\-1 \end{pmatrix}$ und $\vec{d}=\begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 0\\3 \end{pmatrix}$ linear abhängig sind und überprüfen Sie, welche(r) der Vektoren sich als Linearkombination der jeweils anderen drei Vekotren darstellen lässt/lassen.

Aufgabe 3

Geben Sie zu folgenden Polynomen die Linearkombination (bzw. die Koordinaten) bzgl folgendem Erzeugendensystems $E=\{p_1(x)=x^2, p_2(x)=x+1, p_3(x)=x^2+x\}$ an.

a) $q_1(x)=x^2+5x+3$
b)$q_2(x)=(x-3)^2$
c)$q_3(x)=x^2-5$

Aufgabe 4

Bestimmen Sie eine Basis des von der Menge erzeugenten Vektorraum U=<X>.
$X=\{\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\0 \\-1 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 0\\1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\\0 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1\\-1 \end{pmatrix}; \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\\0 \end{pmatrix}\}.$
Gilt $<X>=\mathbb{R}^4$?

Aufgabe 5

Geben Sie für folgende Vektorräume eine Basis an:
a) $\{(x_1,x_2,x_3)\in \mathbb{R}^3: x_1=x_3\}$
b)$\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in \mathbb{R}^4: x_1+3x_2+2x_4=0 ; 2x_1+x_2+x_3=0\}$

Aufgabe 6

Konstruieren Sie eine Basis für den von $v_1 = (1,-2,0,1)\,,\;\, v_2 = (0,0,2,5)\,, \;\, v_3 = (-2,4,2,3)$

erzeugten Vektorraum und ergänzen Sie diese Basis zu einer Basis von ${\mathbb R}^4$.