Übung Aufgaben 8 (SoSe 12)

Aufgabe 8.1

Das klassische Feuerwehrproblem: Am Punkt A steht die Feuerwehr, Punkt B symbolisiert das brennende Haus. Die Gerade g ist die Uferbegrenzung eines Flusses, aus dem die Feuerwehr das Wasser holen muss. Welchen Weg muss die Feuerwehr nehmen um Löschwasser am Fluss zu tanken um danach möglichst schnell am brennenden Haus zu sein? Konstruieren Sie nachstehend die optimale Route für die Feuerwehr und begründen Sie Ihre Konstruktion.
Das Problem lässt sich auf viele verschiedene Anwendungen übertragen, z. B.:

• reitende Cowboys, die ihr Pferd noch tränken müssen, bevor sie den Salon in Doce City erreichen
• Lichtstrahlen, die am Spiegel g reflektiert werden und immer den kürzesten Weg nehmen
• Billardkugeln, die durch einen zentralen Stoß und über Bande g einander treffen sollen
• ...

Lösung von Aufgabe 8.1P (SoSe_12)

Vorraussetzung: A (Feuerwehr) und B (Brennendes Haus)sind nicht veränderbare Punkte. Die Gerade g (Fluss) auch. P ist ein beliebiger Punkt auf g. Die Frage ist also, für welchen Punkt P ist die Stecke AP und BP minimal. AP und BP ist minimal wenn koll(A,P,B) ( Begründung: Satz I.3, Def. Zwischenrelation, Dreiecksungleichung).

g teil die Ebene in zwei Halbebenen gA+ und gA- auf (Axoim). B müsste in gA- liegen, damit die Stecke AB die Gerade g in P schneidet ( Definition der Halbebenen, Vorraussetzung das P ein Punkt auf der Geraden g ist). A und B müssen aber auf der gleichen Halbebene liegen, da der Fluss nicht überquerbar ist.

Deshalb muss B an g gespiegelt werden. Denn in der Definition der Geradenspiegelung ist u.a. enthalten, dass die Geraden BB` die Gerade g schneiden. Da B und A in der gleichen Halbebene liegen, schneidet auch die Strecke AB`die Gerade g. Die Länge der Strecke BP ist gleich der Länge der Strecke BP`(Längentreue der Geradenspiegelung).

Deshalb gilt die Länge der Strecke AP + BP ist minimal wenn koll(APB`).B muss also erst gespiegelt werden. A und B`müssen durch eine Gerade verbunden werden. Der Punkt P ergibt sich aus dem Schnittpunkt zwischen AB´und P. P ist nun festgelegt. AP und BP müssen durch eine Gerade verbunden werden.

Aufgabe 8.2

Wie hoch muss ein Spiegel sein, damit Sie sich ganz darin sehen können und auf welcher Höhe muss die Oberkante des Spiegels angebracht werden? Anmerkung: Sie dürfen hier die Strahlensätze, wie sie aus der Schule bekannt sind, verwenden.

Lösung von Aufgabe 8.2P (SoSe_12)

Aufgabe 8.3

Die nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt einen Billardtisch mit zwei Kugeln in der Draufsicht. Kugel A soll durch einen zentralen Stoß die Kugel B über zwei Banden treffen. Konstruieren und Begründen Sie Ihre Konstruktion.

Lösung von Aufgabe 8.3P (SoSe_12)

Aufgabe 8.4 (Sternchenaufgabe)

wie Aufgabe 8.3, nur über drei Banden.

Lösung von Aufgabe 8.4P (SoSe_12)

Aufgabe 8.5

Auf einem neu anzulegenden Abenteuerspielplatz steht ein senkrecht nach oben ragender Baum (Strecke $\overline{AB}$ ). Dieser soll an einer Stelle K so angesägt werden, dass er hier umknickt und mit seiner Spitze an einer Stelle C am Boden zu liegen kommt (siehe Skizze). Konstruieren Sie die Knickstelle K.

Lösung von Aufgabe 8.5P (SoSe_12)

Man konstruiere die Mittelsenkrechte m der Strecke $\overline{BC}$. Der Schnittpunkt K der Mittelsenkrechten m und der Strecke $\overline{AB}$ ist Knickstelle des Baumes. Begründung: Können wir dies nun so begründen, indem wir sagen: Sm (K)= K, Sm (B)= C, Sm (C)= B, Sm ($\overline{KB}$) = $\overline{KC}$

..oder kann man auch einfach sagen, es ist winkelmaßerhaltend?