Übungen 05

Pfeilklassen und $\mathbb{R}$Vektorräume

Aufgabe 5.1

Ein Vektor $\vec{v}$ wird durch einen Pfeil $\vec{AB}$ repräsentiert. Geben Sie $\vec{v}$ als Zahlentripel an.

a) A(-8,5,12), B(-5,7,-11)

b) A(5,6,7), B(-3,9,-4)

Aufgabe 5.2

Gegeben ist eine Verschiebung $\vec{v}$ des Raumes durch einen Verschiebungspfeil $\vec{PP'}$ mit $P(2,1,3)$ und $P'(5,3,-1)$.

a) Geben Sie den Verschiebungsvektor $\vec{v}$ als Zahlentripel an.

b) Geben Sie die Koordinaten der Bildpunkte der Punkte $A(3,-2,4)$ und $B(3.5,2.5,-5)$ bei der Verschiebung $\vec{v}$ an.

Aufgabe 5.3

Durch $\vec{v_{1}}=\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ und $\vec{v_{2}}=\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$ werden zwei Verschiebungen des Raumes beschrieben.

a) Der Punkt $P(-3,-3,3)$ wird zunächst um $\vec{v_{1}}$ und dann um $\vec{v_{2}}$ verschoben. Geben Sie die Koordinaten der entsprechenden Bildpunkt $P'$ und $P''$ an.

b) Geben Sie den Verschiebungsvektor $\vec{v}$ an, der die Nacheinanderausfürhugn der Verschiebungen $\vec{v_{1}}$ und $\vec{v_{2}}$ beschreibt.

Aufgabe 5.4

Zeigen Sie, dass die Menge $P_{2}=\{p|p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0};$ mit $a_{0},a_{1},a_{2} \in \mathbb{R} \}$ der Polynome höchstens 2. Grades mit der folgend definierten Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ für beliebige $p, q \in P$ mit$p(x)=a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}$ und $q(x)=b_{2}x^2+b_{1}x+b_{0}$ sowie $\lambda \in \mathbb{R}$ ein Vektorraum ist:

$(p+q)(x):= p(x)+ q(x)=(a_{2}+b_{2})x^2+(a_{1}+b_{1})x+(a_{0}+b_{0})$,

$(\lambda\cdot p)(x):= \lambda \cdot p(x)= \lambda a_{2}x^2+\lambda a_{1}x+\lambda a_{0}$