Übungen 08

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Koordinaten des Vekotrs

bezüglich des Erzeugendensystem $E=\{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ -6 \end{pmatrix};\begin{pmatrix} 7 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix}\}$

Aufgabe 2

Wir betrachten in $\mathbb{R}^2$ die drei Unterräume

, $U_2 = \left\langle \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} \, \right\} \right\rangle\;$ und $U_3 = \left\langle \left\{\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \right\} \right\rangle$.

Welche der folgenden Aussagen ist (sind) richtig?

1. Es ist $\left\{\begin{pmatrix} -2 \\ -4 \end{pmatrix} \right\}$ ein Erzeugendensystem von $U_1 \cap U_2$.
2. Es ist $\left\{\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \right\}$ eine linear unabhängige Teilmenge von $U_2$.
3. Es gilt $\langle U_1 \cup U_3 \rangle = \mathbb{R}^2$.

Aufgabe 3

Überprüfen Sie, pb die folgenden 2x2-Matrizen als Linearkombinationen der Matrizen $\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ darstellbar sind.

a) $\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$
b) $\begin{pmatrix}5 & 3 \\ 2 & 5 \end{pmatrix}$

Aufgabe 4

Geben Sie zu folgenden Polynomen die Koordinaten bezüglich folgendem Erzeugendensystems $E=\{p_1(x)=x^2, p_2(x)=x+1, p_3(x)=x^2+x\}$ an.

a) $q_1(x)=x^2+5x+3$
b)$q_2(x)=(x-3)^2$
c)$q_3(x)=x^2-5$