Beziehungen zwischen Seitenlängen und Innenwinkelgrößen von Dreiecken SoSe 12

Satz XIV.1: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Beweis von Satz XIV.1

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.

Voraussetzung:
$\left| BC \right| > \left| AC \right|$ bzw. $\left| a\right| > \left| b \right|$

Behauptung:
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|$

Die folgenden Hilfskonstruktionen liefern die Beweisidee (kommentieren Sie die Abbildungen und führen Sie den Beweis):

stimmt das so?

Wir führen einen Widerspruchsbeweis, indem wir annehmen: alpha = beta

(1) |$\alpha$ |=|$\beta$ | (Ann.)

(2) |a| = |b| (1) , (Basiswinkelsatz)

(3) Widerspruch zur Vor. Ann. ist zu verwerfen, Beh. stimmt --Die Drei ??? 10:59, 14. Jul. 2012 (CEST)

Ihre Annahme ist zu kurz gegriffen - warum?--Schnirch 13:00, 16. Jul. 2012 (CEST)

Vielleicht kann es so funktionieren:

1. Zeichne einen Kreis um C mir Radius: CA (Konstruktion)

2. CB geschnitten k= B´ (1. Konstruktion)

3. CA=CB`daraus folgt Gamma 1=Gamma2 (Hinrichtung BWS)

4. Gamma 2 ist größer als Beta (schwacher Außenwinkelsatz, Dreieck AB´B)

5. Gamma 1 + Delta= Alpha (Winkeladdition)

6. Beta ist kleiner als Alpha (5.4.3)--Geogeogeo 17:03, 16. Jul. 2012 (CEST)

Satz XIV.2: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)

Es sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
$\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right|$

Beweis von Satz XIV.2

Zusatzaufaufgabe