Die Koeffizientenmatrix
So ist es, wenn man sich schnell in der Vorlesung ein Gleichungssystem einfallen lässt.
Zur Erinnerung: an der Tafel entstand spontan eine Koeffizientenmatrix vom folgenden Typ:
Wir wollten den Rang (die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen) dieser Matrix bestimmen und waren zunächst davon überzeugt, dass diese spezielle Wahl darauf hinaus laufen müsste, dass alle die Zeilen der Matrix linear unabhängig sein würden und unsere Matrix damit den Rang haben würde.
Völlig erstaunt waren wir als wir konstatieren mussten, dass die dritte Zeile eine Linearkombination der ersten beiden Zeilen ist. Natürlich kann man den Algorithmus zur Generierung der Diagonalenform der Matrix anwenden, so wie wir es taten. Mehr Überzeugungskraft hat jedoch die Betrachtung des Schemas, wie die Matrix entsteht:
Den Zeilenvektor bezeichnen wir kurz mit .
Damit können wir wie folgt schreiben: .
Jetzt sieht man leicht, dass eine Linearkombination von und ist:
- .
war die Matrix, die ich eigentlich an die Tafel bringen wollte. Stattdessen schrieb ich . Der Beweis für funktioniert analog. Überzeugen Sie sich davon. Viel Spaß dabei --*m.g.* (Diskussion) 15:55, 24. Mai 2018 (CEST)
Die Matrix aus der Vorlesung
Die 3.Zeile ist eine Linearkombination der beiden anderen Zeilen
Also:
ist damit eine Linearkombination der Vektoren und .
Die beiden oberen Zeilen sind linear unabhängig
Bei der Untersuchung der linearen Unabhängigkeit von zwei Zeilen geht es nur darum, ob eine Zeile aus der anderen Zeile durch Multiplikation mit einer reellen Zahl hervorgeht:
Gesucht ist also mit
Eine solche Zahl existiert nicht. Zeile 1 und Zeile 2 bilden zusammen eine Menge linear unabhängiger Zeilenvektoren.
Der Rang der kleinen Koeefizientenmatrix
Die Matrix hat damit den Rang :
Die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren der Menge ist 2.
Die mehr algorithmische Vorgehensweise aus der Vorlesung
Ausgangsmatrix
Schritt 1
Zeile 1 mit multiplizieren und dann zu Zeile 3 addieren.
Wir erhalten die folgende Matrix:
Schritt 2
Zeile 1 mit multiplizieren und zu Zeile 2 addieren:
Wir erhalten die folgende Matrix:
Schritt 3
Wir multiplizieren die zweite Zeile aus mit und addieren sie dann zu Zeile 3 in
Wir erhalten die folgende Matrix:
Der Rang unserer Ausgangsmatrix (wie der Matrix ) kann damit nicht mehr sondern nur noch höchstens sein.
Schritt 4
Wir addieren die zweite Zeile der Matrix zur ersten Zeile der Matrix und erhalten:
Wir vereinfachen:
Weitere Vereinfachungen sind nicht mehr möglich, unsere Matrix hat den Rang 2.
Geometrische Interpretation der Matrix und des LGS
Lösungsgerade
Wir ergänzen zum sogenannten homogenen LGS:
bzw.
Da wir das homogene LGS betrachten, können wir auch unmittelbar die vereinfachten Matrizen verwenden:
bzw.
oder noch einfacher:
bzw.
Es ergibt sich damit die folgende Lösungsmenge für unser homogenes LGS:
Wir erkennen einen proportionalen Zusammenhang jeweils zwischen den Werten, Werten und Werten.
Die Lösungsmenge lässt sich also als die Menge der Koordinaten der Punkte einer Geraden interpretieren. Diese Gerade geht u.a. durch die Punkte und . Wir schreiben die Gleichung der Geraden in Parameterform: mit und und damit
Grafische Darstellung der Lösungsgeraden in Geogebra
nur die Gerade
Lösungsgerade auf Geoegebra Tube
mit den Ebenen der vereinfachten Koeffizientenmatrix
Lösungsgerade mit einfachen Ebenen auf Geoegebra Tube
mit den Ebenen der Ausgangsmatrix und den Normalenvektoren der Ausgangsebenen
Ebenen
Normalenvektoren
Die Datei auf Geogebra Tube
Wir sehen, dass die drei Normalenvektoren komplanar sind. Sie können Sich die Ebene in der Geogebradatei anzeigen lassen (Ebene f).
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