Diskussion:Äquivalenzrelationen und Klasseneinteilungen SoSe 11

Diskussion zur Definition der Klasseneinteilung

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Definition: (Klasseneinteilung eine Menge)

Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$ .

$K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$ , wenn

notwendige Bedingung 1: Jedes a Element M ist nur in einer Teilmenge von K enthalten (ich weiß leider nicht wo die ganzen kleinen math. Zeichen wie "Element" oder so sind)
notwendige Bedingung 2: Wieder mit Worten: Die Mächtigkeit jeder Teilmenge $T_a$ $\in$ K ist größer null
notwendige Bedingung 3: Die Menge K muss echte Teilmenge von M sein, ansonsten wäre K = M und somit keine Klasseneinteilung

--HecklF 21:47, 25. Apr. 2011 (CEST)
mh, weitere Vorschläge, Änderungen...--Tutorin Anne 21:55, 25. Apr. 2011 (CEST)

Ist Punkt 3 nicht falsch (bzw. da es eine Definition ist nicht sinnvoll) ? müsste es nicht heißen:

Die Vereinigungsmenge von $T_i$ = M ( i = 1, 2, 3,.., n, ...) --Peterpummel 20:24, 7. Mai 2011 (CEST)

Bemerkung --*m.g.* 15:56, 12. Mai 2011 (CEST):

Sie haben recht, Bedingung 3 ist so nicht korrekt, allerdings aus dem Grunde, dass wir die Menge selbst nicht als Klasseneinteilung von sich selbst ausschließen dürfen. Also nehmen wir als Klasseneinteilung einer Menge $\ M$ nur $\ M$ selbst, so handelt es sich um eine echte Klasseneinteilung. Das ist vielleicht nicht besonders sinnvoll, wäre jedoch völlig korrekt.

Ich muss hier leider widersprechen: Punkt 3 ist nicht korrekt da:

I) Um es mit einem Beispiel zu verdeutlichen. Sei M = { 1, 2, 3, 4}, T_1 = { 1, 2}, T_2 = { 3, 4} => K = { {1, 2}, {3, 4}}

Wie soll nun K eine Teilmenge (ob echt oder nicht) von M sein? Ein Element von M ist eine Zahl, die Elemente von K sind Mengen von Zahlen. Dies widerspricht der Definition von "Teilmenge sein", da kein Element von K ein Element von M ist.

II) Mir fehlt bei der obigen Definition das Verständnis von Punkt 3, da gänzlich fehlt, dass die Vereinigung der einzelen Klassen wieder die Menge M ergeben muss.

Das eine Menge M als Klasseneinteilung von sich selbst aufgefasst werden kann ist vielleicht nicht immer sinnig, aber vollkommen nachvollziehbar ( das war auch nicht mein Kritikpunkt) und widerspricht auch nicht der Vorlesung.

--Peterpummel 18:54, 17. Mai 2011 (CEST)

Weitere Bemerkungen zur Diskussion --m.g. 23:01, 31. Mai 2011 (CEST)

Punkt 1 und Punkt 2 waren nicht strittig und sind so auch korrekt. Für meine Augen und Ohren ein wenig ungewöhnlich formuliert, was jedoch der Korrektheit der Formulierungen keinen Abbruch tut. Ich finde es im übrigen absolut Klasse, wenn Sie ihre eigenen Formulierungen wählen, da geht dem Dozenten das Herz über.

Punkt 3 muss zum Inhalt haben, dass alle Teilmengen, die zu $\ K$ gehören, zusammen die Ausgangsmenge $\ M$ bilden. Das wird durch die Formulierung "Die Menge K muss echte Teilmenge von M sein" nicht korrekt widergespiegelt.
Der Nebensatz "ansonsten wäre K = M und somit keine Klasseneinteilung" hätte in der Definition auch dann nichts verloren, wenn er und die Definition korrekt wären, denn er erläutert warum die Definition so gewählt wurde. Das darf man in nachgestellten Betrachtungen tun. Zur eigentlichen Definition gehören solche Betrachtungen nicht. (Jetzt bin ich natürlich päpstlicher als der Papst und werde mir gleich wegen eines Verhaltens, das wiederum ein wenig zu lachs ist, selbst eins auf die Mütze hauen müssen.

Zu der Formulierung "ansonsten wäre K = M und somit keine Klasseneinteilung".

Diese bedeutet: Wenn $\ K = M$ dann ist $\ K$ keine Klasseneinteilung von $\ M$ .
Jetzt wird es schwer:
$\ M$ ist eine Teilmenge von sich selbst. Definiert man nun die Menge $\ K$ , die ja aus lauter Teilmengen von $\ M$ besteht derart, dass sie lediglich aus der Menge $\ M$ besteht, dann ist $\ K$ eine korrekte Klasseneinteilung von $\ M$ :
(1) Da $\ K$ nur aus einer einzigen Teilmenge von $\ M$ besteht, gilt der Schnitt zweier verschiedener Teilmengen von $\ M$ aus $\ K$ ist leer. Oder wie oben ausgedrückt: Jedes $\ A \in M$ gehört nur zu einer Teilmenge aus $\ K$ nämlich zu $\ M$ .
(2) $\ K$ besteht nur aus $\ M$ und damit gehört die leere Menge nicht zu $\ K$ .
(3) Die Vereinigungsmenge aller Mengen aus $\ K$ ist $\ M$ . Da $\ K$ nur aus $\ M$ besteht stimmt das. Den obigen Sachverhalt habe ich in meiner Bemerkung vom 12. Mai dann nicht ganz korrekt so formuliert: Also nehmen wir als Klasseneinteilung einer Menge $\ M$ nur $\ M$ selbst, so handelt es sich um eine echte Klasseneinteilung. Diese Formulierung sollte die obigen Überlegungen (1) bis (3) zusammenfassen.
Korrekterweise muss ich jetzt aber einen Fehler bezüglich der Exaktheit meiner Formulierung eingestehen. (Dank dem Studenten, der mich heute in der Sprechstunde darauf hinwies.):
Korrekterweise darf man nicht formulieren, dass eine Menge von sich selbst eine Klasseneinteilung sein kann. Also $\ K = M$ kann nie gelten, denn $\ K$ ist eine Menge höherer Ordnung als $\ M$ . Ein Beispiel macht das verständlicher. Es möge gelten $\ M = \{ a, b\}$ Als Menge aller Teilmengen von $\ M$ die dann eine Klasseneinteilung von $\ M$ sein soll wählen wir die Menge $\ K$ , die nur aus der Menge $\ M$ bestehen möge: $\ K = \{ M\}$ , also $\ K = \{\{a, b\}\}\neq \{a, b\}=M$ . Alles klar?