Drehungen und Verschiebungen als Nacheinanderausführung von Geradenspiegelungen (2010)

Veranschaulichung im dreidimensionalen Raum

Beide Bilder wurde mit dem freien 3D-Programm POV-Ray (Persistence of Vision Raytracer) generiert.

Für beide Bilder wurden jeweils nur zwei Spiegel und eine Kugel verwendet:

Drehung	Verschiebung

Arbeitsauftrag:

Generieren Sie entsprechende Bilder mittels ihrer (Handy)Kamera in der Realität und laden Sie diese hier hoch. (Fahrstühle etc. )

Drei Punkte reichen

Satz 7.1:

Eine jede Bewegung ist durch die Angabe von drei nichkollineraen Punkte und deren Bildern bei der entsprechenden bewegung eindeutig bestimmt.

Drehungen als Spiegelungen

Geogebra-Applikation: Zusammenhang zwischen Drehungen und Spiegelungen

Satz 7.2

Zu jeder Drehung $\ D_{Z, \alpha}$ existieren zwei Geradenspiegelungen $\ S_g$ und $\ S_h$ mit $\ S_h \circ S_g = D_{Z, \alpha}$.

Beweis von Satz 7.2:

Gegeben sei die Drehung $\ D_{Z, \alpha}$.
Ferner seien $\overline{ABC}$ ein Dreieck und $\overline{A'B'C'}$ das Bild von $\overline{ABC}$ bei $\ D_{Z, \alpha}$.

Zum Nachweis der Existenz von zwei Geradenspiegelungen $\ S_g$ und $\ S_h$ mit $\ S_h \circ S_g = D_{Z, \alpha}$ genügt es zu zeigen, dass zwei Geraden $\ g$ und $\ h$ existieren, für die $S_h(S_g(\overline{ABC}))= \overline{A'B'C'}$ gilt.