Einführendes Beispiel WS 11/12

Dem griechischen Universalgenie Eratosthenes von Kyrene gelang es schon vor über 2000 Jahren den Erdumfang ziemlich exakt zu bestimmen. Er beobachtete, dass am 21. Juni die Sonne in Assuan (Ägypten) senkrecht in einen tiefen Brunnenschacht scheint, während zur gleichen Zeit in Alexandria, 5000 Stadien von Assuan entfernt, eine senkrecht stehende Säule einen Schatten wirft. Der Winkel der Sonnenstrahlen mit der vertikalen Richtung betrug 1/50 des Vollwinkels. 1 Stadion entspricht etwa 158m (Was wir heute aber nicht sicher wissen!).
Das nachfolgende Applet hilft Ihnen eine Lösungsidee zu finden. Ergänzen Sie das Applet wenn nötig.

Lösung
Beachtet werden muss, dass der Winkel, der vom Strahl d und der Geraden a gebildet wird, das selbe Maß hat, wie der Winkel, der vom Strahl d und der Geraden b gebildet wird (Begründung?). Diese Winkel werden als Wechselwinkel bezeichnet. Wenn man nun davon ausgeht, dass das Maß beider Winkel somit jeweils 1/50 des Vollkreises beträgt, ergibt sich folgender Zusammenhang:
5000 Stadien * 50 = 250000 Stadien => und das entspricht einem Erdumfang von 39500 km

Lassen Sie uns jetzt einmal darüber nachdenken, welche Voraussetzungen und mathematischen Zusammenhänge wir beim Lösen dieser Aufgabe verwendet haben?

• Definition Parallele
• Wechselwinkel

Mittelpunkt

• Vollwinkel
• parallele Sonnenstrahlen
• senkrecht zueunander
• Erde ist eine Kugel
• Abstandsmessungen
• Wechselwinkelsatz

Was braucht man alles um den Wechselwinkelsatz zu verwenden?

• Zwei Parallelen und eine Gerade, die diese beiden schneidet

Um den Wechselwinkelsatz beweisen zu können, müssen wir zunächst wieder Begriffe klären:

• Wechselwinkel
• Gerade
• Parallele
• was heißt schneiden

...

Definition Wechselwinkel:
Der Scheitelwinkel eines Stufenwinkels ist sein Wechselwinkel
Wir sehen, dass wir nie an ein Ende kommen.
Abhilfe: Grundbegriffe, die nicht weiter definiert werden müssen. Es werden nur die Beziehungen zwischen den Grundbegriffen festgelegt, durch die so genannten Axiome (in der Vorlesung am 17.10.11 erarbeitet). --Schnirch 15:36, 17. Okt. 2011 (CEST))