GeometrieUndUnterrichtSS2019 11

Vorbereitungsauftrag

Lesen Sie in Bender (1982) Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion die Seiten 17 bis 22 (Abschnitt 3 Ist Abbildungsgeometrie in der Sekundarstufe I didaktisch sinnvoll?).

1. Formulieren Sie in eigenen Worten, welche Nachteile oder Kritik Sie an dem abbildungsgeometrischen Zugangs zur Geometrie sehen.

Ergebnisse des Vorbereitungsauftrags

Vorbereitungsauftrag Ilona Rein

• mangelnde Anschaulichkeit: "statisch", tlw. wenig einsichtig; Konzept der Abbildungsvorschrift für SuS möglicherweise zu abstrakt?
• grafische oder haptische Realisierungen möglicherweise nicht immer möglich
• kein direkter Realitätsbezug
• Gefahr von Fehlvorstellungen
• viele verschiedene Begriffe und Formulierungen, die möglicherweise zu Verwirrung bei den SuS führen können
• zu starker Fokus auf die Bewegung im Kontext der Abbildungsgeometrie erschwert Verständnis des Abbildungsbegriffs

Vorbereitungsauftrag Wibke + Anna-Lena

• A: Geometrische Abbildungen sind komplizierte Sonderfälle, da Definitions- und Wertebereich übereinstimmen und der zugehörige Graph nicht isometrisch ist; Bewegungen ungeeignet für Funktionsbegriffbildung
• B: Kongruenzabbildungen sind lineare Abbildungen und somit weniger interessant
• C: Keine Anschaulichkeit, Dynamik oder Selbsttätigkeit für Abbildungsgeometrie im Vergleich zur Bewegungsgeometrie, da statisch
• E: Schwer zugängliches Konstrukt der Projektilen Geometrie; Gleichwertigkeit des Axiomensystem von Hilbert und der Abbildungsgeometrie ist für SuS schwer einsehbar
  
• E: Abbildungsgeometrie geht den Problemen die sich aus der Realität ergeben aus dem Weg; Widersprüchlichkeit beim Symmetriebegriff in 3D und der Realität (Kotflügelproblem)
• F: Beweise sind teilweise lückenhaft, da die Existenz solcher Abbildungen oft ausgelassen wird
• G: Geometrie kann ganz ohne Realitätsbezug betrieben werden, da es ein in sich logisches System ist; Geringe Bedeutung von Bewegungen in der Praxis

Sitzungsmaterialien

• Begleitfolien der Sitzung vom 19.07.2019

Dokumentation der Sitzung

Einstieg:

Zu Beginn der Stunde haben wir die Symmetrie und Kongruenz in einen Alltagsbezug gebracht und dabei folgende Bereiche festgehalten in denen die Symmetrie sowie die Kongruenz eine Rolle spielt:

• Ästhetik
• Kulturelle Phänomene
• Ökonomie/Technik
• Natur
• Kunst
• Architektur
• Mathematik (Ordnungsprinzip, Hilfsmittel beim Problemlösen, Algebra, Arithmetik, siehe Folie 2)

Rückblickend auf die vorherige Sitzung haben wir die drei Zugänge zu Symmetrie und Kongruenz besprochen (Zugang über die Symmetrie, Zugang über Kongruenz und Zugang über Kongruenzabbildungen).

Anschließend nahmen wir Bezug auf den Nachbearbeitungsauftrag der vorherigen Sitzung und es wurden folgende Kritikpunkte an dem abbildungsgeometrischen Ansatz beigefügt:

1. Das Falten von Folien kann schnell zu kompliziert werden für die Schülerinnen und Schüler.

Hinweis des Dozenten: Die Anforderungen sollten zu Anfang nicht zu schwer gewählt werden.

2. Der Funktionsbegriff ist in der Schule oft sehr weit entfernt vom Abbildungsbegriff.

Hinweis vom Dozenten: In der Schule ergeben sich leider wenige Chancen diese Begriffe in Einklang zu bringen.

Nachfolgend besprachen wir, wie sich Symmetrie und Kongruenz in den Bildungsstandards zwischen der Primarstufe und der Sekundarstufe unterscheiden:

Primarstufe:

1. Leitidee „Raum und Form“

Eigenschaften der Achsensymmetrie erkennen, beschreiben und nutzen

2. Symmetrische Muster fortsetzen und selbst entwickeln

Leitidee „Muster und Strukturen“

(Arithmetische und) geometrische Muster selbst entwickeln, systematisch verändern und beschreiben

Sekundarstufe:

1. Leitidee Raum und Form

Eigenschaften und Beziehungen geometrischer Objekte (wie Symmetrie, Kongruenz, Ähnlichkeit, Lagebeziehungen) beschreiben, begründen und beim Problemlösen (im Sachzusammenhang) nutzen

Methodische Arbeitsphase:

In der methodischen Arbeitsphase haben wir vom Dozenten verschiede Arbeitsmaterialien bekommen, mit denen wir Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen etc. im Unterricht einführen können. Wir haben folgende Ergebnisse sichern können:

1. Den Schmetterling als symmetrisch wahrnehmen (siehe Bild)

Schmetterling

2. Drehungen über eine Schablone mit Fixpunkt (Einstechnadel)

Handlungstheoretischer Zugang (es gilt vom Einfachen zum Komplexen)

3. Reduktionssatz über Kohlepapier einführen (DIN A4 als Ebene sehen und dann Falten, Kohlepapier unter das gefaltete Papier legen)

Es entsteht beim auseinanderfalten des Papiers eine Achsenspiegelung an der Faltgeraden

4. Ein weiteres handlungsorientiertes Vorgehen ist das Spiel mit der Zielscheibe und dem Kohlepapier (siehe Bidl).

Zielscheibe

Es galt eine Zielscheide zu malen und dann durch die Achsenspiegelung mit einem Kreuz möglichst in die Mitte der Zielscheibe zu treffen. Dabei entwickelten wir in der Gruppe folgende mögliche Regeln und Modifikationen des Spiels für eine Klasse:

a. Man darf dreimal Schießen und immer zwischendrin nachschauen ob man getroffen hat

b. Verschiedene Spiegelachsen überlegen (Faltlinie im Vorhinein festlegen)

c. Man könnte einen Wettbewerb gestalten

d. Vorgeben wie groß die Zielscheibe sein soll

e. Verschiedene Formen z.B. Dreiecke anstatt des Kreuzes

f. Dürfen Hilfsmittel benutzt werden?

. Wenn man bei dem Spiel messen erlaubt, könnte man dadurch die Längentreue erfahrbar machen und dass die zusammengehörigen Spiegelpunkte immer denselben Abstand zur Spiegelachse haben

Man kann auch Drehungen und Verschiebungen mit dem Kohlepapier simulieren, indem man die NAF von zwei Spiegelungen durchführt, wobei man das Kohle Papier zwischen das Papier einfaltet. (siehe Bild)

Drehung

Verschiebung

ii. Drehungen um 180grad = Falten senkrecht zur ersten Faltgerade

iii. Verschiebung = Falten parallel zur ersten Faltgerade

Um eine Schubspiegelung zu simulieren, müsste man dreimal Spiegeln, was allerdings für die Schüler sehr kompliziert werden könnte. Darüber hinaus müsste man den Zeichendruck merklich erhöhen, was dazu führen könnte, dass das Kohlepapier beschädigt wird.

Insgesamt haben wir folgende Vor- und Nachteile herausgearbeitet:

1. Vorteile: einfach durchführbar; macht Spaß; Abbildungen können erkennbar gemacht werden; haptische Vorgänge (motivationspsychologisch)

wichtig ist, dass man von der Benutzung des Kohlepapiers nach einiger Zeit wegkommt und zu Spiegelungen bzw. Verschiebungen mit Zirkel und Geodreieck hinführt.

2. Nachteile: nicht ganz unkompliziert; haptisch sehr herausfordernd; nicht geeignet um Drehungen erstmalig einzuführen.

Schablonen wären hier passender

Abschluss: Wie man den Kongruenzbegriff im Unterricht einführen kann und wie sich Kongruenzsätze im Unterricht behandeln lassen ist auf Folie 6 und 7 nachzulesen.

Nachbereitungsauftrag

Entwerfen Sie eine Prüfungsfrage bzw. ein kurzes Prüfungsgespräch zu den Sitzungen zum Abbildungsgeometrie (I+II). Ihre Frage sollte dabei nicht nur bloße Wissensabfrage sein, sondern auch Anwendungen, Begründungen oder Diskussionen erfordern. (Sollte Ihnen doch nur Aufgaben zur bloßen Wissensabfrage einfallen, entwerfen Sie drei Prüfungsfragen.)

1. Formulieren Sie Ihre Prüfungsfrage bzw. den Anlass für das Prüfungsgespräch in der Aufgabenstellung-Spalte.
2. Beschreiben Sie ausführlich, wie mögliche (richtige) Antworten auf Ihre Frage aussehen könnten bzw. welche Aspekte in einem Prüfungsgespräch zu dieser Frage angesprochen werden sollten. Tragen Sie dies entsprechend in die Erwartungshorizont-Spalte ein.
3. Erläutern Sie kurz, warum Sie diese Aufgabe einen zentralen Aspekt der Sitzung abdeckt und welche Anforderung an Wissen/Kompetenzen die Aufgabe fordert.

Unter den übergreifenden Literaturhinweise sind insbesondere relevant:

• Bender (1982). Abbildungsgeometrie in der didaktischen Diskussion. In Zentralblatt für Didaktik der Mathematik.
• Kapitel 8 „Symmetrie und Kongruenz“ in Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“.
• Kapitel 9 „Ähnlichkeit“ in Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“.

Ergebnisse der Nachbereitung

Tragen Sie die Ergebnisse Ihrer Nachbereitung in die folgende Tabelle ein.

Aufgabenstellung	Erwartungshorizont	Diskussion
In Weigand et. al. (2018). „Didaktik der Geometrie für die Sekundarstufe I“; S. 198; Bsp. 8.13. werden die Kongruenz- und Abbildungsbeweisideen zu folgender Aufgabe gegenübergestellt: Von den Ecken eines Quadrates ABCD werden im gleichen Umlaufsinn gleiche Streckenlängen x abgetragen. Man erhält das Viereck A'B'C'D'. Warum ist dieses Viereck wiederrum ein Quadrat? Kongruenzbeweis: SWS-Kriterium für Dreiecke A'BB'.. -> A'B'C'D' Raute; Winkelsumme im Dreieck -> rechte Winkel in A'B'C'D' Abbildungsbeweis: 4-zählige Drehachse in Mittelpunkt der Figur (Drehung um 90° führt zur Deckung) -> Viereck Nennen Sie Vor- und Nachteile beider Beweismethoden	Vorteile von Kongruenzbeweisen/Nachteile von Abbildungsbeweisen: Überschaubare Voraussetzungen Finden von passenden Abbildung, die z.T. viele verschiedene Eigenschaften haben 'Statischer' Vergleich von Winkelmaße und Längen einfacher als das 'dynamische" Abbilden. Leichter zu verbalisieren ... Nachteile von Kongruenzbeweisen/ Vorteile von Abbildungsbeweisen: Viele, verschiedene Darstellungsebenen (enaktiv mit Transparentpapier oder ikonisch mit digitaler Geometrie-Software) Leichterer Ansatz: Betrachten und Explizitmachen der Abbildungen der vorhanden Symmetrie geometrischer Figuren Deutlichere Hervorhebung von Zusammenhängen zw. Figur und Eigenschaft Aufgreifen der zentralen Grundvorstellung "Überdecken" im Kongruenzbegriff (allgemeines Argument) ...	Hier werden typische Vor- und Nachteile abbildungsgeometrischer Beweise an einem konkreten Beispiel erfragt. Die fachwissenschaftliche Ausführung der Beweise steht dabei im Hintergrund.