Aufgabe 4.6

Im $\mathbb{R}^2$ kann man den Begriff einer Geraden $g$ wie folgt definieren:
$g:=\{(x,y)| ax+by+c=0, (x,y) \in \mathbb{R}^2, a,b,c \in \mathbb{R}, a^2+b^2 \not = 0\}$

Beweisen Sie: Für derartig definierte Geraden gilt Satz 4.1.

Diskussion zur Definition der des Begriffs Gerade in der analytischen Geometrie in der Übung vom 04. Dezember 2020

In der genannten Übung gab es ein Problem mit der Bedingung $a^2+b^2\not = 0$ für die beiden Koeffizienten $a$ und $b$ . Die Schreibweise der Bedingung ist etwas verklauselt und bedeutet, dass $a$ und $b$ nicht gleichzeitig $0$ werden dürfen: $\neg (a=0 \land b=0)$ .
Eine Kommilitonin zweifelte an, dass diese Bedingung korrekt wäre. Meine Konzentration war am Ende und ich gab der Kommilitonin recht. Die Bedingung ist jedoch völlig korrekt. Die Zweifel der Kommilitonin ergaben sich aus dem Spezialfall, dass die Gerade mit der x-Achse identisch ist. In diesem Fall lautet die korrekte Gleichung zur Beschreibung der Geraden jedoch $y=0$ . Das mag dazu verleiten, anzunehmen, dass der Koeffizient $b$ verschwindet, er ist jedoch $1$ . Ausführlich lautet die Gleichung zur Beschreibung der x-Achse: $0\cdot x + 1 \cdot y + 0=0$ , also $b=1$ . Jedes $x \in \mathbb{R}$ erfüllt diese Gleichung. Selbiges gilt, wenn $c$ verschieden von $0$ ist. Dann könnte die Gleichung zur Beschreibung der Geraden etwa $1 \cdot y = 3$ lauten und eine Gerade beschreiben, die parallel zur x-achse verläuft. Eine derartige Gerade könnten wir auch mit der in der Schule üblichen Geradengleichung $y=mx+n$ beschreiben. $\Delta_y$ wäre $0$ und $\Delta_x$ beliebig. Für den Anstieg würde $m=\frac{\Delta_y}{\Delta_x}=\frac{0}{\Delta_x}=0$ gelten ( $\Delta_x$ wird nicht $0$ , da immer zwei verschiedene Punkte zur Bestimmung von $\Delta_x$ verwendet werden.)
Zur y-Achse parallele Geraden können mittels $y=mx+n$ nicht beschrieben werden. In diesem Fall wird $\Delta_x=0$ und $m=\frac{\Delta_y}{\Delta_x}$ ist nicht definiert. Der Bezug zu $ax+by=c$ ergibt sich wie folgt:
$a=\Delta_y$ und $b=-\Delta_x$

Zur x-Achse senkrechte Geraden werden durch $x=c$ bzw. $1 \cdot x + 0 \cdot y = c$ beschrieben.

Betrachten wir abschließend den Fall $a=b=0$
In diesem Fall lautet unsere Gleichung $0 \cdot x + 0 \cdot y = c$ diese Gleichung ist nur für $c=0$ lösbar. Jedes beliebige geordnete Paar $(x,y). x,y \in \mathbb{R}$ würde diese Gleichunh erfüllen und wir hätten keine Gerade sondern die gesamte Ebene beschrieben.