Inzidenz im Raum (SoSe 11)

Erweiterung der Inzidenzaxiome für die Geometrie im Raum

Inzidenzaxiome der Raumgeometrie

Wir erweitern die Menge der undefinierten Grundbegriffe um die Menge aller Ebenen.

Auch Ebenen sollen Punktmengen sein, weshalb wir Axiom I/0 ergänzen:

Axiom I/0

Geraden und Ebenen sind Punktmengen.

Definition I/3: (Inzidenz Punkt Ebene)

Ein Punkt P inzidiert mit einer Ebene E, wenn P ein Element der Ebene E ist.

Definition I/4: (Inzidenz Gerade Ebene)

Eine Gerade g gehört zu einer Ebene E, wenn jeder Punkt von g zu E gehört.

Definition I/5: (Raum)

Die Menge aller Punkte P wird Raum genannt.

Zusätzlich zu den Axiomen I/1 bis I/3 werden die folgenden Forderungen erhoben:

Axiom I/4

Zu je drei nichtkollinearen Punkten gibt es genau eine Ebene, die diese drei Punkte enthält. Jede Ebene enthält (wenigstens) einen Punkt.

an dozenten oder tutoren: Wo ist Axiom I.3???. bitte bescheid geben. danke schön. --liviana 18:39, 17. Jun. 2011 (CEST)
Unter: http://wikis.zum.de/geowiki/index.php/Eigentlich_ganz_einfach_und_doch_kompliziert:_Punkte,_Geraden_SoSe_11
--Tutorin Anne 10:58, 18. Jun. 2011 (CEST)

Axiom I/5

Wenn zwei Punkte einer Geraden g in einer Ebene E liegen, so gehört g zu E.

Axiom I/6

Wenn zwei Ebenen einen Punkt gemeinsam haben, so haben sie noch mindestens einen weiteren Punkt gemeinsam.

Definition I/6: (komplanar)

Eine Menge von Punkten heißt komplanar, wenn es eine Ebene gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Schreibweise: komp(A, B, C, D, ...) (analog nkomp(..) für nicht komplanar)

Axiom I/7

Es gibt vier Punkte, die nicht komplanar sind.

Weitere Definitionen auf der Grundlage der räumlichen Inzidenzaxiome

Definition I/7: (komplanar für Geraden)

Zwei Geraden g und h sind komplanar, wenn es eine Ebene gibt, in der beide Geraden vollständig liegen.

Schreibweise: komp(g, h)

Definition I/8: (Geradenparallelität)

Zwei Geraden g und h sind parallel, wenn sie identisch oder komplanar und schnittpunktfrei sind.

In Zeichen: g||h.

Definition I/9: (windschief )

Zwei Geraden g und h sind windschief, wenn sie schnittpunktfrei und nicht parallel sind.

Definition I/10: (parallel für Ebenen)

Zwei Ebenen E₁ und E₂ sind parallel, wenn sie keinen Punkt gemeinsam haben.

Folgerungen aus den Axiomen der räumlichen Inzidenzgeometrie

Satz I.5:

Zwei voneinander verschiedene Ebenen haben entweder keinen Punkt oder eine Gerade gemeinsam, auf der alle gemeinsamen Punkte beider Ebenen liegen.

wo ist satz I.4????--liviana 18:55, 17. Jun. 2011 (CEST)

Satz I.6:

Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Satz I.7:

Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Ist dieser Beweis so richtig?

Ann: Es gibt Ebenen, die weniger als 3 Punkte enthalten

Fall 1: Ebene mit keinem Punkt

→ Widerspruch Axiom I.4

Fall 2: Ebene mit nur 1 Punkt A

1. Ǝ B, C. nkoll (A,B,C) (Axiom I.3)

2. Ǝ E. A,B,C ϵ E (1., Axiom I.4)

→ Widerspruch zur Annahme

Fall 3: Ebene mit nur 2 Punkten

1. Ǝ C. nkoll (A,B,C) (Axiom I.3)

2. Ǝ E. A,B,C ϵ E (1., Axiom I.4)

→ Widerspruch zur Annahme

q.e.d. --...s... 10:57, 25. Jul. 2011 (CEST)