Lösung Aufgabe 5.10 SoSe 2017

Aufgabe 5.10 SoSe 2017 Es seien $A, B, C, D$ vier paarweise verschiedene Punkte. Beweisen Sie: $\operatorname{nKomp}(A,B,C,D)\Rightarrow \operatorname{nKoll}(A,B,C)$. Lösung 1 Wenn nKomp (A,B,C,D), dann müssen die Punkte A,B,C eine Ebene E bilden und somit nkoll (A,B,C), da ansonsten, wenn koll (A,B,C) aus der folgenden Geraden g mit den Punkten A,B,C sich eine Ebene H mit dem Punkt D und der Geraden g bildet, was wiederum dazu führen würde, dass Komp (A,B,C,D). Lösung 2 Vorrausetzung: Nkomplanar(A,B,C,D) Behauptung: Nkoll(A,B,C) Kontraposition o.b.d.A. : Wenn koll(A,B,C) gilt, dann gilt komp(A,B,C,D) 1. koll(A,B,C) bedeutet es gibt eine gerade AC mit dem sich auf der geraden befindlichen Punkt B 2. Nun folgt aus Axiom 1.4 das 3 nkoll(A,C,D) eine Ebene E bildet. (hierbei muss nkoll(A,C,D) vorrausgesetzt sein denn sollte D kollinear mit A und C sein so ergibt sich keine Ebene) 3. somit komp(A,C,D) (trivial) 4. Da sich die Gerade AC auf der Ebene befindet muss sich auch B auf der Eben befinden. 5. daraus folgt Kompl(A,B,C,D) Lösung 3