Lösung von Aufg. 1

Lösung --Schnirch 10:53, 22. Dez. 2010 (UTC)

a) Definieren Sie den Begriff: "Konkave Punktmenge" ohne den Begriff "konvex" zu gebrauchen.

Eine Menge M heißt konkav wenn gilt: $\exists_{A,B \in M}: \overline{AB} \not\subseteq M$

b) Begründen Sie, dass der Schnitt einer offenen Halbebene E mit einer Halbgeraden, die zwei Punkte mit E gemeinsam hat, auf jeden Fall eine konvexe Punktmenge ist.

1. offene Halbebenen sind konvex (Beweis siehe Tutorium 8.3)
   
2. Halbgeraden sind konvex, da nach def. Halbgerade (siehe Aufg. 4) zu beliebigen zwei Punkten A und B der Halbgeraden auch die Strecke $\overline{AB}$ zur Halbgeraden gehört.
   
3. Der Schnitt zweier konvexer Punktmengen ist ebenfalls konvex (Beweis siehe Übung 8.5), also auch der Schnitt einer offenen Halbebene mit einer Halbgeraden.

c) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass die Vereinigungsmenge des Inneren zweier Drachenvierecke, die keine Rauten sind, konkav sein kann.