Lösung von Aufg. 11.5

Begründen Sie, warum mittels der Sätze Satz VII.6 a und Satz VII.6 b der Satz VII.6 bewiesen wurde.

Lösung --Schnirch 14:11, 25. Jan. 2011 (UTC)

Ich möchte an dieser Stelle nochmal kurz die Begriffe hinreichende und notwendige Bedingung an einem alltäglichen Beispiel erläutern: Wir nehmen mal den folgenden Satz: Wenn die Deckenlampe leuchtet, dann ist das Zimmer hell.
Es handelt sich hierbei um eine Implikation in der Form: Voraussetzung (Die Deckenlampe leuchtet)$\Rightarrow$ Behauptung (Das Zimmer ist hell).
Die Voraussetzung ist dabei die hinreichende Bedingung für die Behauptung, denn es genügt, für die Zimmerhelligkeit die Deckenbeleuchtung einzuschalten, man könnte das Zimmer aber z. B. ja auch durch eine Kerze beleuchten. Es ist also nicht unbedingt notwendig die Deckenlampe einzuschalten um das Zimmer hell zu bekommen. Umgekehrt ist die Behauptung notwendige Bedingung der Voraussetzung, denn wenn die Deckenlampe leuchtet, dann wird notwendigerweise das Zimmer hell.
Diesen Zusammenhang zwischen hinreichender Bedingung und Voraussetzung bzw. notwendiger Bedingung und Behauptung einer Implikation trifft auf alle Implikationen zu.
Ist nun auch die Umkehrung einer Implikation wahr, dann wird in der Umkehrung aus der Voraussetzung die Behauptung und aus der Behauptung die Voraussetzung. Damit tauschen sich aber dann auch jeweils die hinreichende und notwendige Bedingung, so dass jeweils die eine Teilaussage des Satzes sowohl hinreichende als auch notwendige Bedingung für die zweite Teilaussage ist. Die Voraussetzung ist dann also hinreichende als auch notwendige Bedingung für die Behauptung und die Behauptung hinreichende und notwendige Bedingung für die Voraussetzung.
Wir können damit die Implikation und ihre Umkehrung in einem neuen Satz als Äquivalenzaussage formulieren und haben zugleich ein Kriterium (hinreichende und notwendige Bedingung) gefunden.

In unserer Aufgabe ist Satz VII.6 das Mittelsenkrechtenkriterium, dass die beiden Sätze VII.6a und VII.6b (Umkehrung von Satz VII.6a) beinhaltet.

vorangegangene Lösung

Die nachfolgende Lösung von Engel82 ist eine kurze Zusammenfassung des oben Gesagten!--Schnirch 14:11, 25. Jan. 2011 (UTC)

Der Satz VII.6 ist als Kriterium genau dann..., wenn formuliert. Ein Kriterium besteht aus einer Implikation und der Umkehrung.
Es besteht eine Äquivalenzaussage zwischen VII.6a und VII.6b
Der Satz VII.6a ist die Implikation:

Voraussetzung $\rightarrow$
hinreichende Bedingung für die Behauptung

Behauptung
notwendige Bedingung für die Voraussetzung

Umkehrung Satz VII.6b:
Behauptung $\rightarrow$
hinreichende Bedingung für die Vor

Voraussetzung:
notwenige Bedingung für die Behauptung
--Engel82 16:14, 11. Jan. 2011 (UTC)