Lösung von Aufg. 12.4 SS11

Beweisen Sie Satz VII.6 b

Wenn ein Punkt $\ P$ zur Mittelsenkrechten der Strecke $\overline{AB}$ gehört, dann hat er zu den Punkten $\ A$ und $\ B$ ein und denselben Abstand.

$\ Beweis:$

$\ Voraussetzung :\ m \ ist \ Mittelsenkrechte \ von \ \overline{AB} \ und \ P \in m$
$\ Behauptung: \ \overline{PA} \equiv \overline{BP}$

$\ Es \ gilt \ : \$

$\overline{PM} \equiv \overline{PM} \ und \ \angle PMA \equiv \angle PBM \ und \ \overline{AM} \equiv \overline{BM} \ nach \ Voraussetzung$
$\Rightarrow \ Kongruenz \ von \ \overline{APM} \ und \ \overline{PMB}\Rightarrow \overline{AP} \equiv \overline{BP}$ --Peterpummel 18:06, 3. Jul. 2011 (CEST)

Muss das auch für P = M gezeigt werden? Oder ist das einfach trivial, weil P dann Mittelpunkt ist und logischerweise zu A und B denselben Abstand hat?--mm_l 10:45, 15. Jul. 2011 (CEST)

Ja, trotz das der Beweis für P=M trivial ist, muss man diesen Fall getrennt aufführen, denn es enstechen ja keine Dreicke!
Das heißt, für ein korrekten Beweis muss man hier in zwei Fälle unterscheiden. (vgl. Aufgabe 12.3)--Tutorin Anne 10:37, 17. Jul. 2011 (CEST)