Lösung von Aufg. 13.7 (SoSe 11)

Beweisen Sie:
Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Ich finde, dass man diesen Beweis nicht führen kann! Mit dem schwachen Außenwinkelsatz ist dieser nicht möglich, da ich hierbei die Innenwinkelsumme haben MUSS. Das kann ich beweisen:

Wir gehen von folgendem "Beweis" aus. Dieser wird klassischerweise o.B.d.A. geführt (was schonmal den ersten Fehler in den Beweis bringt):

Voraussetzung: $\overline{ABC}$ , $\alpha \beta \gamma$ Behauptung: Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180. Mögen dies o. B. d. A. $\alpha und \beta$ sein.

1	Beta und Beta' sind Nebenwinkel, daraus folgt: $\beta + \beta ' = 180$	Außenwinkel Def., Nebenwinkel Def. supplementär, Suppl.Axiom
2	$\alpha < \beta '$	Schwacher Außenwinkelsatz, (1)
3	$\beta ' = 180 - \beta$	Rechnen in R, (1)
4	$180 - \beta > \alpha \Rightarrow \alpha +\beta < 180$	Rechnen in R, 2, 3

Und jetzt? q. e. d.? Von wegen. Dies muss ich noch für alle anderen machen, denn ansonsten ist sowas auch möglich:

Jetzt habe ich somit als Ergebnis:

$\alpha + \beta < 180$

$\alpha + \gamma < 180$

$\beta + \gamma < 180$

Insofern darf kein Dreieck die Innenwinkelsumme von 180 haben, was heißt, dass es kein Dreieck gibt - das kann die absolute Geometrie aber nicht wollen :-), das ist schlichtweg falsch.

Ergo: Einerseits zeigt der Beweis auf, dass entweder das vorkommen kann, was ich in der obigen Graphik eingeblendet habe, oder er zeigt an, dass die Innenwinkelsumme kleiner als 180 ist. Beides falsch - dass er Nebenbei auch noch aufzeigt, dass die Innenwinkelsumme von zwei Winkel jeweils kleiner ist als 180 ist schon klar, aber die "Kollateralschäden" die das Korrolar mit sich bringt sind doch aus meiner Sicht enorm. --Flo60 19:09, 17. Jul. 2011 (CEST)

Zwar kann in der absoluten Geometrie ein oben genanntes Dreieck sein, aber der Beweis ist sicher kein Widerspurch zur Innenwinkelsumme aller drei Winkel. Wenn man statt o.B.d.A. zunächst für den Fall $\alpha + \beta < 180$ den Beweis führt und die weiteren zwei Fälle als analoge Beweise nennt, ist alles in Ordnung.--Tutorin Anne 20:02, 18. Jul. 2011 (CEST)

Ich denke es geht mit dem Schw. Außenwinkelsatz.

Vor: Dreieck ABC
Beh: o.B.d.A $\alpha +\beta < 180°$

Bew. durch Wiederspruch
Ann:
$\alpha +\beta = 180°$

1. $\alpha +\beta = 180°$........Ann.
2.$\alpha +\gamma = 180°$.........Neb. sind Supplimentär
3.$\beta =180°- \alpha$..........1, rechnen/ umstellen in R
4.$\gamma =180°- \alpha$.........2, rechnen/umstellen in R
5.$\beta =\gamma$....................3,4, Wiederspruch zum schw. Außenwinkelsatz
q.e.d

--Eng.MODs 23:18, 17. Jul. 2011 (CEST)
Wichtig ist beim Widerspruchsbeweis, dass mit der Annahme das Gegenteil der Behauptung vorausgesetzt wird.
Das ist hier aber nicht nur "=". So ist dies leider kein Beweis (da dieser nicht vollständig ist).--Tutorin Anne 20:02, 18. Jul. 2011 (CEST)