Lösung von Aufg. 7.1 (WS 11/12)

Beweisen Sie: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Vor.: Ebene E und eine nicht in ihre liegende Gerade g
Beh.: E geschnitten g kleiner gleich 1
Annahme: E geschnitten g größer 1

(1) E und nicht in ihr liegende Gerade g Vor
(2) g: A,B,C koll
Fall 1: E geschnitten g = {}
Axiom 1/2, Def koll
(3) es existiert P : P nicht Element g Axiom 1/2, Def koll
(4) kompl (A,B,C,P) Def. kompl. (2), (3)
(5) E2 (4)
(6) E geschnitten E2 = {0} Axiom 1/10

Wenn du eine Annahme aufstellst, solltest du diese auch im Beweis verwenden (als Begründung). Sonst ist es ein dirkter Beweis.

(7) Widerspruch zur Anname

Fall 2: Mathenerds 09:36, 26. Nov. 2011 (CET)

Warum machst du hier ein Fallunterscheidung? --Tutorin Anne 14:43, 29. Nov. 2011 (CET)

• Muss Fall 1, d.h. $\ E \cap g \ = \ \lbrace \rbrace$ überhaupt bewiesen werden?? Wenn E und g keinen Schnittpunkt haben, dann sind sie doch parallel...

• Fall 2: $\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace$
  Vor: Ebene E und eine nicht in ihr liegende Gerade g
  Beh:$\ E \cap g \ = \ \lbrace S\rbrace$
  Ann: $\ E \cap g \ = \ \lbrace S,P\rbrace$
  Beweis:
  

Schritt	Begründung
1.) $\exists S,P\in g$	Axiom I/2, Vor.
2.) g liegt in E	Axiom I/5, Ann.,1.),Vor.

--> Widerspruch zur Vor., Annahme ist zu verwerfen --Wookie 13:26, 28. Nov. 2011 (CET)

Aufgabe 7.1

Vor: g ist nicht echte Teilmenge von E

Was soll eine "nicht echte Teilmenge" sein. Ich weiß zwar was du meinst, aber so sollte man das nicht schreiben...

es hört sich jetzt so an, als wäre g halt nur eine Teilmenge von E, aber eine nicht echte.--Tutorin Anne 19:07, 23. Dez. 2011 (CET) Sonst ist es ein schöner Beweis.

Beh: $\ E \cap g$ = {A} oder $\ E \cap g$ = {}
Ann: Die Schnittmenge enthält mehr als ein Element
$\ E \cap g$ = {A,B} o.B.d.A

Schritt	Begründung
1.) $\ g \cap E$ = {A,B}	Ann.
2.) $A,B \in g$	(1), Def. Schnittmenge
3.) $g \in E$	(2), Axiom I/5
4.) g ist echte Teilmenge von E	(3)
5.) Widerspruch zur Vor., Beh. stimmt	(4)

--Mohnkuh 14:17, 23. Dez. 2011 (CET)