Lösung von Aufgabe 12.1P (WS 12 13)

Durch welche Abbildung kann die Verkettung zweier Punktspiegelungen ersetzt werden? Begründen Sie!

Mein Vorschlag:

Die Verkettung von zwei Punktspiegelungen lässt sich durch eine Verschiebung ersetzen.

Überlegung;Nach den Reduktionssatz wird diese Verkettung (mit 4 Geradenspiegelungen) auf eine Verkettung von zwei Geradenspiegelungen reduziert.

Begründung: Es sei gegeben eine Punktspiegelung1 mit den Spiegelgeraden a und b und Punktspiegelung2 mit den Spiegelgeraden c und d. Jetzt verschiebt man die Punktspiegelung1 so, dass a zu c parallel ist und b und d identisch sind und sich somit aufheben (Identität). Es entsteht eine Verkettung von zwei Geradenspiegelungen Sa´oSc, die zueinander parallel sind , diese Verkettung nennt man Verschiebung (Def. Verschiebung).

Hier muss man beachten, dass eine Verkettung von drei Punktspiegelungen wieder (wegen Reduktionssatz)auf eine Verkettung von zwei Geradenspiegelungen reduziert wird. Hier wird die Verkettung von drei Punktspiegelungen aber durch eine Punktspiegelung ersetzt.

Habe ich das richtig verstanden?

Tatjana1

• Tatjana1, du hast das sehr gut verstanden. Nur eine wichtige Sache: Die Reihenfolge der Geraden bei der Verkettung ist entscheidend! Legst du Gerade b und d aufeinander, so entsteht bei der Spiegelung an b ein Bild, dass anschließend an c gespiegelt wird und dann an d. Es entspricht nicht mehr dem Ausgangsobjekt.--Tutorin Anne 15:26, 2. Feb. 2013 (CET)
  

Hier ein Applikation zum Ausprobieren!

--Tutorin Anne 15:26, 2. Feb. 2013 (CET)

• Jetzt bin ich verwirrt.

Ich habe das jetzt ausprobiert und komme trotzdem noch auf die gleiche Abbildung, wenn b auf d liegt, also identisch sind und a und c zueinander parallel sind. Es entsteht eine gleiche Abbildung. Die Punkte der Abbildung haben einen Abstand, der doppelt so groß ist wie der Abstand der beiden parallelen Geraden a und c.
Tatjana1

• Da hast du Recht! Das habe ich nicht genau erklärt. Es geht darum, dass du nur dann zwei Geraden "herauskürzen" kannst, wenn eine Bild wieder auf sein Ursprungsbild fällt, das heißt, zwei Dreiecke müssen übereinander liegen. Das ist nicht der Fall, wenn du die Geraden anders drehst und damit kannst du nicht begründen, warum du wie weglassen kannst.--Tutorin Anne 07:27, 4. Feb. 2013 (CET)
  

• Wie muss ich es begründen?

Weil die Rheienfolge wichtig ist, muss ich dann a parallel zu d drehen, dass b und c identisch sind. Dann müsste es doch gehen , oder?

• Ja genau.--Tutorin Anne 17:36, 5. Feb. 2013 (CET)
• Mir fällt ein, du könntest auch deinen Weg über b identisch mit d gehen, allerdings musst du dann zusätzlich begründen, dass du die Abfolge der Geradenspiegelungen bei einer Punktspiegelung tauschen darfst (Kommuntativgesetz gilt bei der Punktspiegelung).
• Und vorsicht: Das Kommutativgesetz gilt nicht bei der Verschiebung oder Drehung!--Tutorin Anne 17:36, 5. Feb. 2013 (CET)

• Einleuchtend, danke Anne! Tatjana1