Lösung von Aufgabe 12.8

Gegen welche Forderung, die an Axiomensysteme zu stellen ist, verstößt die folgende Formulierung des Parallelenaxioms:
Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es genau eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und zu $\ g$ parallel ist.

Versuch 1

Aufgrund der Formulierung "genau eine Gerade" beinhaltet diese Aussage sowohl die Existenz als auch die Eindeutigkeit der Geraden. Dies müsste aber anhand der absoluten Geometire nachgewiesen werden, was der Forderung zur Unabhängigkeit der Axiomensysteme widerspricht. Das Parallelenaxiom muss folgendermaßen heißen:

Zu jedem Punkt $\ P$ außerhalb einer Geraden $\ g$ gibt es höchstens eine Gerade $\ h$, die durch $\ P$ geht und zu $\ g$ parallel ist.
--Löwenzahn 09:39, 14. Jul. 2010 (UTC)