Lösung von Aufgabe 2.3 (SoSe 12 P)

Satz: In einem Dreieck $\overline{ABC}$ mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2) Sei $\overline{ABC}$ ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Meiner Meinung nach stimmt Beweis 2 --Monello

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

Vor. und Beh. wie oben, Annahme: Winkel alpha kongruent zu Winkel beta 1. Wenn alpha kongruent zu beta, dann |AC|=|BC| (Annahme, Basiswinkelsatz) 2. |AC|< |BC| (Vor.) 3. |AC|≠ |BC| (2.) 4. Widerspruch -> Annahme ist zu Verwerfen, Behauptung ist anzunehmen. q.e.d.

-- Monello (Sorry ich benutz dass zum ersten Mal und komm nicht so klar mit den Sonderzeichen, und wie setzt man eine Signatur?