Lösung von Aufgabe 5.4 P (SoSe 14)

Es seien eine Ebene E (aufgefasst als Punktmenge) und eine Gerade g in E gegeben. Wir betrachten folgende Relation $\ \Theta$ ($\ \Theta$ ist ein willkürlich gewähltes Symbol, um die Relation nicht mit dem unauffälligen Buchstaben R bezeichnen zu müssen) in der Menge $\ E \setminus g$ (also alle Punkte der Ebene E, die nicht der Geraden g angehören): Für beliebige $\ A,B \in E \setminus g$ gilt: $\ A \Theta B: \Leftrightarrow \overline{AB}\cap g = \lbrace \rbrace$.
a) Beschreiben Sie die Relation $\ \Theta$ verbal und veranschaulichen Sie diese Relation.
b) Begründen Sie anschaulich, dass $\ \Theta$ eine Äquivalenzrelation ist. Formulieren Sie dazu die Eigenschaften von Äquivalenzrelationen konkret auf die Relation $\ \Theta$ bezogen.
Hinweis: Sie können die Transitivität noch nicht exakt beweisen; in dieser Aufgabe geht es zunächst darum, die Relationseigenschaften als geometrische Eigenschaften zu interpretieren und zu verstehen.

  a) A steht in Relation zu B, wenn die Strecke AB die Gerade g nicht schneidet. --MarieSo (Diskussion) 19:34, 26. Mai 2014 (CEST)
  

a) A und B sind zwei Punkte der Ebene E ohne der Gerade g, für die Punkte A und B gilt: A steht in Relation zu B genau dann, wenn die Strecke AB die Gerade g schneidet und die leere Menge ergibt. (Also schneidet nicht)

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Ergänzend kann man also sagen, das A in Relation zu B steht, wenn sie in der selben Halbebene bezüglich g liegen.

Mit dieser Erkenntnis lässt sich dann Aufgabe b) auch leicht begründen.So wie Picksel angefangen hat, ist es zu allgemein.--Tutorin Anne (Diskussion) 20:48, 18. Jun. 2014 (CEST)

b) Reflexiv: jeder Punkt steht zu sich selbst in Relation

Symmetrisch: A steht in Relation zu B, wie B zu A. Ob ich Strecke AB definiere oder BA ist völlig egal.

Transitiv: Wenn A zu B und B zu C, dann steht auch A in Relation zu C.

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--Picksel (Diskussion) 09:36, 27. Mai 2014 (CEST)

Die Veranschaulichung mit den Skizzen ist spitze! Danke Picksel für die Mühe!!!--Tutorin Anne (Diskussion) 20:48, 18. Jun. 2014 (CEST)