Lösung von Aufgabe 6.3 S (SoSe 12)

Aufgabe 6.3

Beweisen Sie: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

--H2O 20:07, 28. Mai 2012 (CEST) und keinKurpfälzer

Anmerkungen von Buchner

Leider kann ich das eingescannte Dokument nicht so gut lesen unten.
Zu Ihrem ersten Beweisversuch. Die Annahme und die ersten Schritte sind gut. Ab Schritt 5 macht der Beweis für mich aber keinen Sinn. Rechnen Sie doch mal mit den Gleichungen aus Schritt 3 und 4 weiter!

Kleiner Tipp: Der Widerspruch sollte was mit dem Axiom vom Lineal zu tun haben!--Buchner 16:18, 31. Mai 2012 (CEST)

Ich kann leider immer noch nicht diese Zeichen einfügen, deswegen ist meine Lösung ohne Formeln^^
Vorraussetzung: Strecke AB mit Mittelpunkt M
Behauptung: Es gibt keinen weiteren Mittelpunkt N, der nicht zu M identisch ist
Annahme: Es gibt noch weitere Mittelpunkte N, die nicht zu M identisch sind
Beweis:
(1) Es gibt ein M, das auf AB liegt und zu A den Abstand AM hat, dieser Abstand ist gleich MB, also AB/2 | Vor., Def. Mittelp.
(2) Es gibt einen weiteren Punkt N ungleich M, der ebenfalls auf AB liegt und von A den Abstand AB/2 hat | Beh., Def. Mittelp.
Widerspruch zum Axiom vom Lineal (denn es gibt nur genau einen Punkt mit Abstand x zu A)
--Monsta 13:15, 5. Jun. 2012 (CEST)

Anmerkungen von Buchner zu Monstas Beweis

Das sieht schon sehr gut aus!
Vor, Beh und Ann sind absolut korrekt.
Schritt eins ist auch in Ordnung- ergänzen Sie noch in der Begründung, dass Sie sich auf den Existenzbeweis beziehen. (Die Definition sagt nämlich noch nicht aus, dass $\left| AM \right| = \frac{\left| AB \right|}{2}$, aber das wissen wir aus dem Existenzbeweis.)
In Schritt zwei wirds jetzt unsauber. Nach Annahme ist N eine weiterer, von M verschiedener Mittelpunkt. Nach Definition für Mittelpunkt gilt: $N \in \overline{AB}$ und $\left| AN \right| = \left| NB \right|$. Dass $\left| AN \right| =\frac{\left| AB \right|}{2}$ ist, müssen Sie noch zeigen (Sie dürfen das also nicht einfach annhemen) . Hier fehlen ein, zwei Zwischenschritte. Ansonsten schon wirklich gut!
--Buchner 12:11, 6. Jun. 2012 (CEST)

Noch ein Versuch:

Def. (Mittelpunkt einer Strecke):

 Wenn ein Punkt $M$ einer Strecke $\overline {AB}$ zu den beiden Endpunkten $A$ und $B$ jeweils ein und denselben Abstand hat,
 heißt $M$ der Mittelpunkt der Strecke $\overline {AB}$.

was nun zu zeigen wäre: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Vor.: $\overline {AB}$ mit Mittelpunkt $M$.

Beh.: Es gibt genau einen Punkt $M$ einer Strecke $\overline {AB}$, der zu den beiden Endpunkten $A$ und $B$ jeweils ein und denselben Abstand hat.

Ann.: Es gibt zwei nichtidentische Punkte $M$ und $N$ einer Strecke $\overline {AB}$, die zu den beiden Endpunkten $A$ und $B$ jeweils ein und denselben Abstand haben.

Beweis (durch Widerspruch)

	Schritt	Begr.
(1)	$\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|$	Beh.; Def. Mittelpunkt
(2)	$\left| AM \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}$	Existenzbeweis
(3)	$\left| AN \right| = \left| NB \right|$	Ann.
(4)	$\left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| \overline{AB} \right|$	(1); (2); Rechnen in R
(5)	$\left| AM \right| + \left| MB \right| = \left| \overline{AB} \right|$	(2); (3); Rechnen in R
(6)	$\left| AN \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}$	(5); Rechnen in R
(7)	Es gibt einen weiteren Punkt $N \in \overline{AB} : \ \left| AN \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}$	(6)
	Widerspruch zu Axiom III.1 (Axiom vom Lineal), nach dem es nur genau einen Punkt gibt, für welchen (7) gilt!

--Snooth 13:14, 16. Jun. 2012 (CEST)

Lösungsversuch Nummero6/Tchu Tcha Tcha:

zu zeigen: Jede Strecke hat höchstens einen Mittelpunkt.

Vor.:
(V1)$\overline {AB}$
(V2)Mittelpunkt $M$ mit $\left| AM \right| = \left| MB \right|$

Beh.:
Es gibt höchstens einen Mittelpunkt einer Strecke $\overline {AB}$.

Ann.:
Es gibt zwei nichtidentische Mittelpunkte ($M$ nicht$\equiv$ $N$) einer Strecke $\overline {AB}$.

Beweis (durch Widerspruch)

	Schritt	Begr.
(1)	$\exists M \in \overline{AB} : \ \left| AM \right| = \left| MB \right|$	Vor.; Def. Mittelpunkt
(2)	$\left| AM \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}$	Existenzbeweis
(3)	$\exists N \in \overline{AB} : \ \left| AN \right| = \left| NB \right|$ mit$N \neq M$	Def. Mittelpunkt
(4)	$\operatorname(Zw) (A, N, B)$	(3)
(5)	$\left| AN \right| + \left| NB \right| = \left|AB \right|$	(4); Def. Zw.
(6)	$\left| AN \right| + \left| AN \right| = \left|AB \right|$	(3); (5)
(7)	$2\left| AN \right| = \left| AB \right|$	(6); Rechnen in R
(8)	$2\left| AM \right| = \left| AB \right|$	(2); Rechnen in R
(9)	$\left| AN \right| = \left| AM \right|$	(7); (8)
(10)	$\left| AN \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}$	(2); (9)
(11)	Es gibt einen weiteren Punkt $N \in \overline{AB} : \ \left| AN \right| = \frac{\left| \overline{AB} \right|}{2}$	(10)
	Widerspruch zu Axiom III.1 (Axiom vom Lineal), nach dem es nur genau einen Punkt geben darf, für welchen (11) gilt! Daher muss $M\equiv N$ sein, was ein Widerspruch zur Annahme ist. Die Annahme ist dadurch zu verwerfen. Die Behauptung stimmt. qed

--Tchu Tcha Tcha 15:26, 16. Jun. 2012 (CEST)

Bemerkungen M.G.

Die Versuche (Snooth und Nummero6) sind prinzipiell in Ordnung. Sie machen sich das leben jedoch ein wenig zu schwer. Auf den Existenzbeweis muss man eigentlich keinen Bezug nehmen. Man könnte die Eindeutigkeit nämlich auch vor der Existenz zeigen.

Wir nehmen an, dass eine Stecke $\overline{AB}$ die beiden verschiedenen Mittelpunkte $M_1$ und $M_2$ besitzt.

Entsprechend der Definition Mittelpunkt einer Strecke würde gelten:

(1) $|AM_1|+|M_1B|=|AB| \wedge |AM_1|=|M_1B|$,
(2) $|AM_2|+|M_2B|=|AB| \wedge |AM_2|=|M_2B|$.

Aus (1) und (2) folgt sofort: $|AM_1|=|AM_2|=\frac{|AB|}{2}$

Nun gibt es auf $AB^+$ genau einen Punkt $M$ der zu $A$ den Abstand $\frac{|AB|}{2}$ hat.

Damit müssen $M_1$ und $M_2$ identisch sein, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist.

Vom Prinzip her sind Ihre Beweise wie meiner. Ich brauche jedoch die Existenzgeschichte nicht. Es interessiert mich bei diesem Beweis gar nicht, ob irgend ein Mittelpunkt existiert. Ich zeige: Falls es welche geben sollte, dann nicht mehr als einen.--*m.g.* 17:47, 16. Jun. 2012 (CEST)

Hinweis: Das Tabellenschema hilft häufig, aber nicht immer. Versuchen Sie es mitunter auch anders.--*m.g.* 17:47, 16. Jun. 2012 (CEST)
Danke für die Hilfe! --Tchu Tcha Tcha 20:55, 16. Jun. 2012 (CEST)

Kommentar Snooth:

Danke für den Hinweis! So ist es viel überschaubarer. Ich hatte mir den Tipp von "Buchner" zu Herzen genommen, dass der Widerspruch etwas mit dem Axiom vom Lineal zu tun haben sollte.
Ich bin auf jeden Fall erleichtert, dass es legitim ist, auch einfacher vorzugehen. --Snooth 20:08, 16. Jun. 2012 (CEST)

Es ist eigentlich egal, ob Sie sagen:
Nach Annahme sind die Punkte verschieden und das ist ein Widerspruch zum Axiom vom Lineal (Ihre Lösung) ODER
Nach Axiom vom Lineal müssen die Punkte identisch sein und das ist ein Widerspruch zur Annahme.
Es steckt genau dieselbe Idee dahinter- machen Sie´s so, wie es Ihnen leichter fällt.
--Buchner 17:54, 17. Jun. 2012 (CEST)