Lösung von Aufgabe 8.2

n der Vorlesung haben wir die Repräsentantenunabhängigkeit des Referenzpunktes zweier Halbebenen gezeigt. Verdeutlichen Sie den Zusammenhang zur Klasseneinteilung der Ebene.

Lösung --Schnirch 13:28, 14. Jul. 2010 (UTC)

Gegeben sei eine Ebene $\ E$ und eine in dieser Ebene liegende Gerade $\ g$. Betrachtet man die Menge aller Punkte der Ebene $\ E \setminus g$, so lässt sich die Ebene bezüglich der Geraden $\ g$ in genau zwei Halbebenen unterteilen. Definiert man eine Relation $\ S$ mit $\ S:=\{\forall P,Q|\overline {PQ} \cap g = \lbrace \rbrace \}$ so kann man zeigen, dass diese Relation eine Äquivalenzrelation ist und eine Klasseneinteilung mit genau zwei Klassen (Halbebenen) nach sich zieht. Jeder Punkt ein und derselben Halbebene ist ein Repräsentant dieser Klasse.