Lösung von Zusatzaufgabe 11.2P (SoSe 12)

Was ergibt die Verkettung zweier Schubspiegelungen?

gerade sehe ich, dass die verschiebung bei einer schubspiegelung immer parallel zur spielgelgeraden verläuft, die vektoren im bild sind daher alle falsch :-(
--Studentin 02:06, 4. Jul. 2012 (CEST)
die schlussfolgerungen sollten sich jedoch nicht ändern...--Studentin 02:07, 4. Jul. 2012 (CEST)

braun (bild 1, 2, 3):
erste schubspiegelung
rot (bild 4a und 5a):
zweite schubspiegelung,
fall 1: wenn die zweite spiegelgerade im rechten winkel zur ersten spiegelgerade steht, kann das bild auch durch eine drehung durch d1 erfolgen.
blau (bild 4b und 5b):
zweite schubspiegelung,
fall 2: wenn die beiden spiegelachsen parallel (oder identisch) zueinander sind, kann das bild auch durch verschiebung dargestellt werden.
grün (bild 4cund 5c):
zweite schubspiegelung,
fall 3:zwei spiegelgeraden weder senkrecht noch parallel: drehung durch d2

--Studentin 02:00, 4. Jul. 2012 (CEST)

ich berichtige: bei rot (erster fall) nicht nur einfach drehung, sondern punktspiegelung.
--Studentin 14:27, 13. Jul. 2012 (CEST)

Hätte an die Geradenspiegelung gedacht...--Geogeogeo 15:49, 9. Jul. 2012 (CEST)

Ich nehme alles wieder zurück und schließe mich der Studentin an. Könnte die Begründung für den Reduktionssatz wie folgt lauten?

Die Verkettung zweier Schubspiegelungen ist eine Verkettung einer 6fachen Geradenspiegelung. Die gerade Anzahl lässt auf eine Drehung oder Verschiebung schließen.--Geogeogeo 21:40, 12. Jul. 2012 (CEST)

Zusammenfassen kann ich zunächst: Studentin erklärt, dass sich entweder eine Drehung oder eine Verschiebung ergibt.
Geogeogeo denkt, es könnte eine Geradenspiegelung herauskommen. Was meinen die anderen? --Tutorin Anne 09:34, 10. Jul. 2012 (CEST)

Man kann auch allgemeiner argumentieren, indem man den Reduktionssatz hinzunimmt. Wie würde die Begründung lauten?--Tutorin Anne 09:34, 10. Jul. 2012 (CEST)

Ich versuche das Ganze mal allgemeiner und leider ohne GeoGebra:
2 Schubspiegelungen (Sa°Sb°Sc)°(Sd°Se°Sf)
Fall 1: (c und f sind nicht parallel zueinander)
1. Drehe b,c um festes S2 mit b senkrecht zu c so, dass c' parallel zu f ist.
2. Verschiebe d,e, bei festem gleichbleibendem Abstand zueinander so, dass d' id. b'
3. Drehe a,c' um festes S1' mit festem Winkel asc so, dass S4 Element c.
4.Drehe f, e' mit gleichbleibendem Winkel so, dass S1' Element f', mit f' id. c
5. (Sa°Sb°Sc)°(Sd°Se°Sf)= ... = (Sa'°Se)
Da: (Sb'°Sd') identisch und (Sc°Sf') identisch
Aus der Verkettung zweier Schubspiegelungen wird also eine Drehung.
Wenn c und f parallel zueinander sind (Fall 2) entsteht relativ analog eine Verschiebung.
--Jussuf Ölkan 19:03, 14. Jul. 2012 (CEST)
fall 3: wenn im rechten winkel: punktspiegelung--Studentin 10:44, 15. Jul. 2012 (CEST)

• Sehr gut! Fall 3 muss man nicht nennen, da dieser ja eine besondere Form von Fall 1 ist. --Tutorin Anne 13:10, 16. Jul. 2012 (CEST)
• Könnte man allgemeiner sagen: 2 Schubspiegelungen verkettet sind das gleiche wie eine Verkettung zweier Geradenspiegelungen? Wenn ja, warum? Wenn nein, warum?--Tutorin Anne 13:10, 16. Jul. 2012 (CEST)

ja, könnte man sagen, weil man alle anderen geraden (bis auf zwei) "wegkürzen" kann.--Studentin 13:38, 16. Jul. 2012 (CEST)

Hm, ich hätte da mal ne Frage zu den Möglichkeiten die Achsen bei der Verkettung mehrerer Spieglungen zu "bewegen". In der Vorlesung hatten wir ja durch die Sätze IX.2. und IX.9 festgelegt und bewiesen, dass man die Spiegelachsen unter bestimmten Bedingungen verschieben darf. Nun bin ich etwas ratlos, wie das bei der Schubspiegelung funktioniert. Grundsätzlich ist die Schubspiegelung ja dadurch definiert, dass "a parallel zu b" ist und "a senkrecht auf c steht". Darf ich jetzt trotzdem die Schubspiegelung wieder in einzelne Geradenspiegelungen teilen um sie dann die Aufgabe zu bearbeiten? Bzw. in wie weit darf ich die Achsen der Schubspiegelung "bewegen"?? Bin mir da gerade irgendwie nicht so recht sicher.. --Menolly

Ja, du darfst die Geraden bewegen. Dabei musst du wie Studentin unten auch an ihrem Beispiel verdeutlicht, die Reihenfolge der Spiegelung an den parallelen Achesn beachten (diese darf nicht verändert werden.). Entweder du verschiebst die parallelen Achsen bei gleicher Richtung und gleichem Abstand. Oder du drehst die Gerade b und c, um ihren Schnittpunkt. Dass a und b dann nicht mehr parallel sind, ist dabei nicht wichtig. Denn egal welche drei Gradenspiegelungen du hintereinander durchführst, sie lassen sich immer auf eine Schubspiegelung (nach der Definition) oder ein einfach Geradenspiegelung reduzieren.--Tutorin Anne 12:43, 23. Jul. 2012 (CEST)

du musst nur darauf achten, dass du die reihenfolge der beiden parallelen geraden einhälst.
ich hab's mal aufgemalt. in meinem beispiel wäre das erst die spiegelgerade 1 und danach die 2.
also zuerst gibt es das dreieck -1-, dass gespiegelt werden soll.
jetzt verschiedene möglichkeiten:
a: erst an spiegelgerade1 gespiegelt (2a), dann an der waagrechten nach unten (3a) und dann an der spiegelgeraden 2 zurück (4)
b: erst an der waagrechten (2b), dann die beiden parallelen (3b und 4)
c: erst an den beiden parallelen spiegelgeraden (2c und 3c), dann an dre waagrechten (4)
wichtig ist dabei nur: an der spiegelgeraden 1 muss vor der spiegelgeraden 2 gespiegelt werden, wann die, die im rechten winkel dazu steht, dazukommt, ist egal!
--Studentin 20:12, 19. Jul. 2012 (CEST)