Lösung von Zusatzaufgabe 2.5P (WS 12 13)

Welche Definition für Kreis ist richtig? Warum (nicht)?

• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn gilt: $\left| MP \right|$ ist konstant, so ist $P$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M$.
  

Die Definition ist nicht richtig, da sie nicht für eine Ebene definiert ist und somit z.B. eine Kugel oder Halbkugel nicht ausschließt.--Unicycle 15:47, 15. Nov. 2012 (CET)

• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Punktmenge. Wenn gilt: $X\in P:\left| XM \right|=r$, dann ist $P$ ein Kreis.
  

Das gleiche wie oben, man kann damit auch eine Kugel konstruieren.--Unicycle 16:01, 15. Nov. 2012 (CET)

• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Punktmenge. Wenn $P$ alle Punkte $X$ enthält für die gilt∶ $\left| XM \right|=r,r\in \mathbb{R}^{+}$ und $X\in E$, dann ist $P$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$.
  

Auch hier ist es noch nicht sauber definiert, da nicht ausgeschlossen ist, dass P noch mehr Punkte außer X enthält. Man müsste hier schreiben "...Wenn P nur die Punkte X enthält..."--Unicycle 16:01, 15. Nov. 2012 (CET)

• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Punktmenge. Wenn $P$ genau alle Punkte $X$ enthält für die gilt∶ $\left| XM \right|=r,r\in \mathbb{R}^{+}$ und $X\in E$, dann ist $P$ ein Kreis mit dem Mittelpunkt $M$.
  

Hier ist zwar das Problem von oben erkannt, aber nicht richtig umgesetzt. Das genau alle betont lediglich, dass auch wirklich alle X in P enthalten sind, schließt aber immernoch nicht aus, dass P mehr Punkte als nur die Punkte X enthält.--Unicycle 16:01, 15. Nov. 2012 (CET)

• • "Genau alle Punkte X" bedeutet, dass alle und nur diese Punkte X enthalten sind. Damit wäre das Problem aus Definition 3 gelöst. Ich bin mir jetzt allerdings auch nicht 100% sicher.--Tutorin Anne 14:13, 16. Nov. 2012 (CET)
    

Tutorin Anne hat recht!--Schnirch 14:47, 16. Nov. 2012 (CET)

• Sei $M$ ein Punkt in der Ebene $E$ und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Wenn für alle $X \in P$ gilt∶ $\left| XM \right|=r,r\in \mathbb{R}^{+}$, dann ist $P$ ein Kreis.
  

Auch hier ist es wieder das gleiche Problem. Man müsste schreiben "...,dann beschreibt die Menge aller X \in P einen Kreis." --Unicycle 16:01, 15. Nov. 2012 (CET)

• • Die Begründung stimmt so nicht. "Für alle X Element P gilt" heißt, dass eben für jedes der Elemente aus P diese Bedingung gelten muss. Das Problem liegt wo anders.--Tutorin Anne 14:13, 16. Nov. 2012 (CET)
    
    

Dann müsste es doch heißen "dann ist X ein Kreis", oder?--Der Bohrer 11:03, 22. Nov. 2012 (CET)
X ist ein beliebiger Punkt, keine Menge und damit auch kein Kreis. --Tutorin Anne 15:27, 22. Nov. 2012 (CET)

• Sei $M$ ein Punkt und $P$ eine Menge, deren Elemente Punkte sind. Alle Elemente von $P$ liegen in ein und derselben Ebene wie $M$. Wenn gilt: $\left| MP \right|$ ist konstant, so ist $P$ ein Kreis mit Mittelpunkt $M$.

Hier haben wir endlich eine korrekte Definiton des Kreises. Er liegt in einer Ebene und der Abstand zum Mittelpunkt ist immer der selbe.--Unicycle 16:01, 15. Nov. 2012 (CET)

• • Deine Begründung stimmt hier nicht, die Definition ist nicht korrekt. Wo liegt der Fehler?--Tutorin Anne 14:13, 16. Nov. 2012 (CET)
  • Das $\left| MP \right|$ ist falsch. Richtig wäre: Wenn für alle $X \in P$ gilt: $\left| MX \right|$ ist konstant, dann ist P ein Kreis mit Mittelpunkt M.--Der Bohrer 11:23, 30. Nov. 2012 (CET)
    
  • Ja richtig! Allerdings muss man noch ausschließen, dass die Punktmenge nicht nur aus einem Punkt besteht, nämlich dem Mittelpunkt.--Tutorin Anne 12:10, 30. Nov. 2012 (CET)