Lösung von Zusatzaufgabe 5.2 (SoSe 12)

Die Aufgabe

Beweisen Sie Satz I.7 : Jede Ebene enthält (wenigstens) drei Punkte.

Lösungsvorschlag von Nemo81

Der Vorschlag

Vor. Ebene E1

Beh: A,B,C element E1

Bew:

1) E1 laut Vor.

2) A,B,C elemt E1 laut Ax I/4 q.e.d --Nemo81 15:52, 30. Mai 2012 (CEST)

Bemerkungen von M.G.

Zur Voraussetzung

Besser:

Es sei $E_1$ eine Ebene.

oder:

Wir gehen davon aus, dass $E_1$ eine Ebene ist.

Nur so Ebene $E_1$ klingt nicht so gut.

Zur Behauptung

Besser:

Wir haben zu zeigen, dass es drei paarweise verschiedene Punkte $A,B,C$ gibt, die zu $E_1$ gehören.

Jede Behauptung ist eine Aussage für sich. Sie behaupten $A,B,C \in E_1$. Was ist das für eine Behauptung? Wir wissen durch die Formulierung $A,B,C \in E_1$ nicht wirklich worum es geht. Welche drei Punkte $A, B, C$? Ihre Behauptung kann keinen Wahrheitsgehalt haben, da wir nicht wisse, um was für Punkte es geht. Letztlich ist unsere Behauptung eine Existenzaussage. Es gibt drei Punkte , die zur Ebene $E_1$ gehören.

Zum besseren Verständnis, der Satz noch mal in Wenn-Dann

Wenn (die Punktmenge) $E_1$ eine Ebene ist, dann gibt es (wenigstens) drei parweise verschiedene Punkte, die zu $E_1$ gehören.

Zum Beweis

In Schritt 1 gehen Sie davon aus, dass $E_1$ eine Ebene ist. Das geht in Ordnung.

Schritt 2 bezieht sich dann auf das Axiom I/4. Dieses Axiom I/4 sagt aus, dass es zu je drei nichtkollinearen Punkten genau eine Ebene gibt, die diese drei Punkte enthält. Noch mal in Wenn-Dann:

Wenn $A, B, C$ drei nichtkollineare Punkte sind, dann gibt es genau eine Ebene, die die Punkte $A, B, C$ enthält.

Also das Axiom geht von drei Punkten aus und fordert die Existenz einer Ebene, die alle drei Punkte enthält.

Unser Satz dagegen geht von einer Ebene aus und fordert die Existenz von drei Punkten, die zur Ebene gehören. Das Axiom I/4 ist also nicht wirklich geeignet, die Existenz der drei Punkte auf einer beliebigen Ebene zu sichern.--*m.g.* 17:10, 3. Jun. 2012 (CEST)