Lösung von Zusatzaufgabe 6.1 P (WS 18 19)

Das Parallelenaxiom lautet wie folgt:
Zu jeder Geraden g und zu jedem nicht auf g liegenden Punkt A gibt es höchstens eine Gerade, die durch A verläuft und zu g parallel ist.
Nutzen Sie dieses Axiom, beim Lösen der folgenden Aufgabe:
Es seien a, b und c drei paarweise verschiedene Geraden in ein und derselben Ebene.
a) Beweisen Sie folgende Implikation durch einen Widerspruchsbeweis: $\ a \| b \wedge b \| c \Rightarrow \ a \| c$ .
b) Welche Eigenschaft der Relation $\|$ auf der Menge aller Geraden einer Ebene haben Sie hiermit gezeigt?

a)

Vor: $\ a \| b \wedge b \| c$
Ann: $\ a \neg \| c$

1. a und c haben einen (gemeinsamen) Schnittpunkt P - Ann
2. b hat keinen gemeinsamen Punkt mit a und c (P liegt nicht auf b) - Vor
3. b hat zwei Parallelen, die durch P verlaufen - 1.
4. b hat genau eine Parallele durch P - Parallelenaxiom

an dieser 4. Stelle können Sie auch gleich "Widerspruch zum Parallelenaxiom" anführen--Schnirch (Diskussion) 13:49, 29. Nov. 2018 (CET)

5. Widerspruch, Annahme ist zu verwerfen - 3., 4.

b)
Die Transitivität
--CIG UA (Diskussion) 13:54, 23. Nov. 2018 (CET)