Mittelsenkrechte, Mittelsenkrechtenkriterium und der Zusammenhang zur Geradenspiegelung WS 18 19
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Mittelsenkrechte
Eine Mittelsenkrechte ist das, was ihre Bezeichnung ausdrückt:eine Gerade, die eine Strecke halbiert und senkrecht auf ihr steht.
Konstruieren Sie nachfolgend die Mittelsenkrechte:
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Definition VI.1: (Mittelsenkrechte)
- Es sei
eine Gerade und
eine Strecke, die durch
im Punkt
geschnitten wird.
ist die Mittelsenkrechte von
, wenn
- Es sei
Zusammenhang Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung
Es sei g eine Gerade und , ein beliebiger Punkt der mit g in der gleichen Ebene liegt. P' sei der Bildpunkt von P bei der Geradenspiegelung
.
Nach der Definition Mittelsenkrechte und der Definition Geradenspiegelung ist die Spiegelgerade g Mittelsenkrechte der Strecke .
Konstruktion eines Bildpunktes P' bei der Spiegelung
mit Zirkel und Lineal
Nachfolgende GeoGebra-Applikation zeigt Schritt für Schritt die Vorgehensweise bei der Konstruktion des Bildpunktes P' bei der Spiegelung
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Welche mathematischen Zusammenhänge zwischen den Punkten A,B,P und P' wurde für die Konstruktion genutzt?
Ihre Antwort:
Wir können uns nun fragen: Ist der Punkt , den wir oben konstruiert haben, tatsächlich der Bildpunkt von P bei der Spiegelung
?
Wenn wir beweisen könnten, dass tatsächlich die Mittelsenkrechte der Strecke
ist, dann wären wir fertig, denn dann wäre nach Definition Mittelsenkrechte und Geradenspiegelung, P' tatsächlich Bildpunkt von P bei der Spiegelung
.
Nach unserer Konstruktion gilt: und
. Wir können also sagen, die beiden Punkte A und B haben zu den beiden Endpunkten der Strecke
nach Konstruktion jeweils ein- und denselben Abstand. Außerdem gilt nach Konstruktion, dass A und B auf der Spiegelachse g liegen. Wenn wir nun beweisen könnten, dass alle und nur die Punkte, die auf der Mittelsenkrechten einer Strecke liegen zu den beiden Endpunkten dieser Strecke ein- und denselben Abstand haben, wüssten wir sicher, dass g die Mittelsenkrechte von
ist.
Genau das wollen wir jetzt beweisen. Wir gliedern dazu die obige Aussage in zwei Sätze:
Satz VI.1 a: (hinreichende Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von
gehört.)
- Wenn ein Punkt
zu den Endpunkten der Strecke
jeweils ein und denselben Abstand hat, so ist er ein Punkt der Mittelsenkrechten von
.
- Wenn ein Punkt
Satz VI.1 b (notwendige Bedingung dafür, dass ein Punkt zur Mittelsenkrechten von
gehört)
- Wenn ein Punkt
zur Mittelsenkrechten der Strecke
gehört, dann hat er zu den Punkten
und
ein und denselben Abstand.
- Wenn ein Punkt
Beweisen werden wir die beiden Sätze in der Vorlesung bzw. in der Übung!
Wir können nun die beiden Sätze VI.1 a und VI.1 b zu einem neuen Satz zusammenfassen:
Satz VI.2: (Mittelsenkrechtenkriterium)
...