Relation, Äquivalenzrelation; Klasseneinteilung

Ziel der Ausführungen Es gibt grundlegende Begriffe, die man im Mathematikunterricht und auch im alltäglichen Sprachgebrauch ständig verwendet, ohne sich bis ins letzte Detail Gedanken über den Begriff selbst zu machen. Mitunter braucht man es dann doch genauer und es stellen sich Fragen, die gar nicht so einfach zu beantworten sind: Was ist eigentlich eine natürliche Zahl? Was ist ein Bruch, was ist eine Bruchzahl, was ist eine gebrochene Zahl und ist das eigentlich alles dasselbe? Was ist eine Richtung? Was ist der Richtungssinn? Meint 3. und 4. dasselbe? Was ist ein Pfeil und was sind Pfeilklassen? Man kann eine ganze Zeit lang Mathematik betreiben, ohne obige Fragen explizit zu beantworten: Natürliche Zahlen kennt doch jedes Kind, es sind die Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 usw., sie sind offenbar gottgegeben. Was interessiert es mich, ob es Bruch, gebrochene Zahl oder Bruchzahl heißt, wenn ich etwa $\frac{3}{5} + \frac{7}{12}$ rechnen soll, dann rechne ich halt $\frac{36}{60} +\frac{35}{60}$ und erhalte$\frac{71}{60}$. 3. bis 6. Was interessiert es mich, ob es Pfeil oder Pfeilklasse heißt, wenn ich etwa $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD}$ bestimmen soll, dann rechne ich halt $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE}$ und erhalte $\overrightarrow {AE}$ Irgendwie bleibt bei näherer Betrachtung der Dinge jedoch ein wenig Unsicherheit, die, je mehr man darüber nachdenkt, immer stärker wird: Wir haben nicht wirklich die Brüche $\frac{3}{5}$ und $\frac{7}{12}$ addiert, sondern die Brüche $\frac{36}{60}$ und $\frac{35}{60}$. Irgendwie ist das sicherlich dasselbe, irgendwie aber auch nicht: $\frac{3}{5}$ einer Pizza sind wunderschöne Stücke (Schließlich hat m.g. 10 Jahre das Rezept für seinen Teig optimiert.). $\frac{36}{60}$ derselben Pizza ist Matsch und nicht wirklich genießbar (eventuell noch für zahnlose Hunde). Irgendwie passt es schon, dass wir anstelle von $\overrightarrow {CD}$ $\overrightarrow {BE}$ zu $\overrightarrow {AB}$ addiert haben. Bei näherer Betrachtung ist der Pfeil $\overrightarrow {BE}$ aber auch ein von $\overrightarrow {CD}$ verschiedener Pfeil unserer Ebene. Dieses Irgendwie und passt schon sollten wir präzieren. Zentraler Punkt dieser Präzisierung sind die Begriffe Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung. Klasseneinteilungen Beispiele und Gegenbeispiele Kleine Bemerkung aus didaktischer Sicht zur Erarbeitung des Begriffs Klasseneinteilung Die Ausbildung von Lehrern an einer Hochschule oder Universität läuft häufig Gefahr, sich selbst ad absurdum zu führen. Auf der einen Seite fordert man vom zukünftigen Lehrer, dass dieser sich im Praktikum seines didaktischen Know-How's bedienen möge, während man in den eigenen Lehrveranstaltungen den didaktischen Aspekt stark vernachlässigt. Nun wird es rein aus Zeitgründen nicht immer möglich sein, sich in einer Hoschschullehrveranstaltung der Methoden eines Unterricht allgeinbildender Schulen zu bedienen, zumindest exemplarisch sollte es jedoch möglich sein, den stark dozierenden Stil der Hochschullehrveranstaltung zu durchbrechen. Hier und jetzt wollen wir dieses tun: Der Begriff der Klasseneinteilung soll induktiv erarbeitet werden. Hierzu werden wir verschiedene Beispiele und prägnante Gegenbeispiele bezüglich des Begriffes der Klasseneinteilung untersuchen um dann die Idee des Begriffs Klasseneinteilung herauszuarbeiten. Ein Beispiel für eine Klasseneinteilung Die übliche morgendliche Hektik an der „Maier-Vorwiesener“ Grund- und Hauptschule: Frau Schulze-Mackenroth zog es für heute vor, ihr Burnout-Syndrom mit Tannenzäpfle und Ouzo zu pflegen, weshalb sie sich kurz vor knapp bei Rektor Pollenwein telefonisch krank gemeldet hat. In ihrer Grundschulklasse geht es derweilen drunter und drüber. Xulio-Dävid hat seine überforderte, allein erziehende Mutter ausgetrickst und das Methylphenidat nicht genommen. Jetzt lässt er seine ADHS hemmungslos an seinen Klassenkameraden aus. Zu Hause bei Lehrer Steiner gab es ein weiteres mal Stress wegen der jungen blonden Referendarin, die Steiner betreut. Er flüchtet deshalb und kommt eine Stunde früher. Erleichtert sieht ihn Rektor Gendarm beim Anmarsch auf die Schule. Aus dem Rektoratsfenster ruft er Steiner zu: „Du musst ganz schnell in die Klasse von Xulio-Dävid. Es brennt mal wieder!“ Damit ist eindeutig geklärt, in welche Klasse Herr Steiner gehen muss. Rein formal hätte Rektor Gendarm natürlich auch die Namen von anderen Schülern nennen können, die mit Xulio-Dävid in dieselbe Klasse gehen. An der klassischen Grund- und Hauptschule geht jeder Schüler in genau eine Klasse. Ihre Klassen sind ein Beispiel dafür, was der Mathematiker unter einer Klasseneinteilung versteht. Ein Gegenbeispiel für den Begriff der Klasseneinteilung 10 Jahre ist Sportsfreund Holzkugel nun Vorsitzender des örtlichen Kegelvereins. Es waren bewegte 10 Jahre. Vor 5 Jahren gelang ihm das, woran schon viele Vorsitzende des Vereins scheiterten: Die Öffnung des Vereins für den Bowlingsport. Die Gegner des Bowling verwiesen immer wieder auf den Namen des Vereins: "Alle Neune Wilhelmsfeld". Schließlich konnte man sich aber doch auf eine Umbennung in "Gut Holz Wilhelmsfeld" einigen, was die Gründung der Sektion Bowling ermöglichte. Heute gehört $\frac {1}{3}$ aller Mitglieder von "Gut Holz Wilhelmsfeld" sowohl der Sektion Kegeln als auch der Sektion Bowling an. Die beiden Sektionen bilden damit keine Klasseneinteilung des Vereins "Gut Holz Wilhelmsfeld". Identifizieren von Klasseneinteilungen Pluspunkt für eine richtige Antwort:    Minuspunkte für eine falsche Antwort: Ignoriere den Fragen-Koeffizienten: 1. Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich nach Ihrer Meinung um eine Klasseneinteilung der angegebenen Grundmenge handelt. Einteilung der Menge aller Dreiecke in gleichseitige, gleichschenklige und in Dreiecke bei denen keine zwei Seiten gleichlang sind. → Ein gleichseitiges Dreieck ist gleichzeitig ein gleichschenklig. Einteilung der Menge aller Vierecke in konvexe und konkave Vierecke. → Ein beliebiges Viereck ist entweder konvex oder nicht konvex und damit konkav. Es gibt kein Viereck, das weder konvex noch konkav ist. Die Menge aller Vierecke wird damit in genau zwei Klassen eingeteilt. Die eine Menge ist die Menge aller konvexen Vierecke, die andere Menge ist die Menge aller nicht konvexen und damit konkaven Vierecke. Unter $\mathcal{M}$ wollen wir die Menge aller Mengen ohne die leere Menge verstehen. Wir teilen $\mathcal{M}$ nun in unendlich viele Teilmengen ein:$M_1,\ M_2,\ M_3,\ M_4,\ ...,\ M_n,\ ...$, wobei wir unter $M_1\$ die Menge aller Mengen mit genau einem Element, unter $M_2\$ die Menge aller Mengen mit genau zwei Elementen, unter $M_n\$ die Menge aller Mengen mit genau n Elementen etc. verstehen wollen. → Jede Menge (außer der leeren Menge) gehört zu genau einer der Teilmengen von $\mathcal{M}$. Alle Teilmengen vereinigt bilden die Menge $\mathcal{M}$. Herr Markwitz ist Rektor der Wiesengrund-Hauptschule. Früher war die Wiesengrund-Hauptschule zweizügig. Es gibt damit die Klassen 6a, 6b, 7a, 7b, 8a, 8b, 9a und 9b. Im Schuljahr 2009/2010 reichte es dann nicht mehr. Eigentlich dürfte es nur die Klasse 5a geben. In diese Klasse gehen auch alle Schüler des entsprechenden Jahrgangs. Um den Fortbestand seiner Schule zu sichern, greift Rektor Markwitz zu einem Trick. Er führt fiktiv die Klasse 5b, die allerdings keine Schüler hat. → Das konnten Sie noch nicht wissen: sollen die Teilmengen einer Menge eine Klasseneinteilung der Grundmenge bilden, do darf keine der Teilmengen leer sein. Läßt Herr Markwitz die fiktive Klasse weg, so hat er natürlich wieder eine saubere Einteilung der Menge aller Schüler seiner Schule in Klassen. Punkte: 0 / 0 Definition des Begriffs Klasseneinteilung Definition: (Klasseneinteilung eine Menge) Es sei $M$ eine Menge und $K=\{ T_1, T_2, T_3, ..., T_n, ...\}$ eine Menge von Teilmengen von $M$. $K$ ist eine Klasseneinteilung von $M$, wenn notwendige Bedingung 1: Keine der Teilmengen ist leer notwendige Bedingung 2: Je zwei verschiedene Teilmengen aus K sind disjunkt notwendige Bedingung 3: Die Vereinigung aller Teilmengen aus K ergibt die Menge M.--Engel82 21:19, 1. Nov. 2010 (UTC) Relationen Beispiele Halt dich senkrecht Im Schulpraktikum war der Begriff der Senkrechten zu behandeln. Der Praktikant hatte ein Bild der Schweizer Nationalflagge auf eine Folie gedruckt und fragte die Schüler, welche Linien Senkrechte wären. Bei den Schülern stellte sich nach den ersten Antworten leichte Unsicherheit ein. Der Grund für diese Unsicherheit: Die Frage des Praktikanten war völlig unsinnig. Eine Antwort wie Gerade $a$ steht senkrecht ist lediglich eine Aussageform, der kein Wahrheitswert zuzuordnen ist. Erst wenn man die Lage von $a$ bezüglich einer anderen Geraden $b$ (Ebene, Strahl, Strecke) betrachtet, ist es sinnvoll davon zu sprechen, dass $a$ eine Senkrechte ist. Die Relation Gerade $a$ steht senkrecht auf Gerade $b$ ist zweistellig. Eine klassische Dreiecksbeziehung Tom ist der Liebhaber von Gabi. Zu der Ehre der Liebhabereigenschaft kommt er durch die Existenz von Frank, dem Ehemann von Gabi. Tom, Gabi und Frank stehen in einer dreistelligen Relation zueinander, der klassischen Dreiecksbeziehung. Wir könnten diese Relation auch so formulieren: Gabi steht zwischen zwei Männern. Beispiel 3 Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel. Ein Punkt B liegt zwischen den Punkten A und C, wenn A, B und C auf einer Geraden liegen und entweder A vor B und B vor C oder C vor B und B vor A liegen. --Halikarnaz 20:33, 6. Nov. 2010 (UTC) Beispiel 4 Trauen Sie sich: Präsentieren Sie hier ein eigenes Beispiel. Ein Quiz zwischendurch Pluspunkt für eine richtige Antwort:    Minuspunkte für eine falsche Antwort: Ignoriere den Fragen-Koeffizienten: 1. Setzen Sie ein Häckchen, wenn es sich um eine zweistellige Relation handelt Eine Ebene $\alpha$ steht senkrecht zu einer Ebene $\beta$. → klar, wie bei Beispiel 1 für Geraden Der Punkt $B$ liegt zwischen den Punkten $A$ und $C$. → dreistellig Von zwei Punkten ein und derselben Geraden liegt einer vor dem anderen. → Jetzt werden nur zwei Punkte verglichen. Punkte: 0 / 0 Die Idee der Relation aus abstrakter Sicht Jeder mit Jeder? Von Anfang an war Kommissar Schätzerle dieses Dorf, dass man weder dem Ländle noch dem Nachbarn Bayern so recht zuordnen kann, nicht ganz geheuer gewesen. Ist nun der schöne Anton der Vater von der Lisa oder doch Stavros, der Grieche, der irgendwann im Dorf auftauchte und seitdem bei der feschen Wirtin wohnt. Wer ist eigentlich der Vater vom Klaus, den man hier immer noch politisch unkorrekt den Dorfdeppen nennt. Und was ist mit Dorothea, deren Zeugung mit Sicherheit nicht die unbefleckte Empfängnis war, alle im Dorf aber so tun, als wenn es so gewesen wäre. Eins wurde Schätzerle immer klarer: Er konnte den aktuellen Fall nur lösen, indem er alle Vaterschaften des Ortes gnadenlos aufklärte. An die DNS aller in Frage kommender Männer heranzukommen war leicht. Ein abendlicher Besuch bei der feschen Wirtin reichte aus. Schwieriger war es bei den Kindern. Um das Gerichtsverfahren nicht zu gefährden, sei dem Chronisten diesbezügliches Stillschweigen gestattet. Wie auch immer, irgendwann hatte sich Schätzerle auch die noch fehlende DNS von Maria besorgt und schickte alles den Kollegen in Stuttgart zum Zwecke des DNA-Abgleichs. Mit der Bitte um Kennzeichnung jeweiliger Vaterschaften durch ein Ausrufezeichen schickte er die folgende tabellarische Übersicht mit: der schöne Anton Stavros, der Grieche der Pfarrer der Gärtner Lisa  ?  ?  ?  ? Klaus  ?  ?  ?  ? Dorothea  ?  ?  ?  ? Maria  ?  ?  ?  ? Karl - Theodor  ?  ?  ?  ? Hans  ?  ?  ?  ? Das LKA Stuttgart schickte die Tabelle in folgender Form zurück: der schöne Anton Stavros, der Grieche der Pfarrer der Gärtner Lisa  ?  ?  ? ! Klaus !  ?  ?  ? Dorothea  ?  ? !  ? Maria  ? !  ?  ? Karl - Theodor  ?  ?  ? ! Hans  ?  ?  ? ! Der einzige, der sich über das Ergebnis aus Stuttgart freute, war der schöne Anton. Es hielt sich nämlich hartnäckig das Gerücht, dass der Anton zwar recht nett anzusehen sei, andererseits aber struntzdumm und vom Gebrauch der Anabolika, naja sie wissen schon ... . Für Schätzerle wurde allerdings klar: Der Mörder war wieder der Gärtner. Du hast den Farbfilm vergessen ... Wir wollen davon ausgehen, dass Sie diesen Text an einem Computermonitor $M$ lesen. Ferner möge es sich bei $M$ um einen Monitor handeln, der $\quad 256^3=16.777.216$ verschiedene Farben darstellen kann. Weil Bilder, für deren Darstellung auf dem Bildschirm $16.777.216$ verschiedene Farben zur Verfügung stehen, recht natürlich auf das menschliche Auge wirken, bezeichnet man die Farbtiefe von $256^3$ Farben auch als True Color. Da das Display von $M$ selbst leuchtet, erfolgt die Farbdarstellung auf ihm entsprechend des Prinzips der additiven Farbmischung: Die Farbe eines jeden Pixels wird durch das Mischen der drei Grundfarben Rot, Grün und Blau generiert (RGB). Für jede der drei Farben stehen jeweils 256 verschiedene Farbtiefen zur Verfügung, d.h. im Farbraum von $M$ gibt es 256 verschiedene Rottöne, 256 verschiedene Grüntöne und schließlich 256 verschiedene Blautöne. Jeder der Farbtöne wird durch eine natürliche Zahl $f$ mit $0 \le f \le 255$ codiert. Der Code einer beliebigen Farbe des Farbraumes von $M$ ist damit ein geordnetes Tripel $\left( f_r, f_g, f_b \right)$, wobei $f_r, \quad f_g$ und $\quad f_b$ jeweils natürliche Zahlen zwischen $\quad 0$ und $\quad 255$ sind und die jeweilige Farbtiefe der Grundfarben Rot, Grün und Blau codieren. Das folgende Bild ist ein Screenshot der Excelapplikation Datei:Farbumrechnung.xls zur Verdeutlichung des Prinzips der Generierung von RGB-Farben. Zur Zeit des Screenshots war $\left( \ 92, 198, 57 \right)$ das geordnete Tripel, welches der Füllfarbe des Rechtecks zuzuordnen ist. Aus der abstrakten Sicht des Mathematikers ist unser RGB-Farbraum das Kreuzprodukt $\ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}$, wobei unter $\mathcal{F}$ die Menge der natürlichen Zahlen von 0 bis 255 zu verstehen ist. Nun möge es sich zugetragen haben, dass wir des Auftrages zur Generierung eines computergestützten Videos anheischig wurden. Als Auftraggeber zeichnet niemand geringeres als Nina Hagen zuständig. Zum 55. Geburtstag der Punk-Diva (Präzisierung in 2018, zum 63. Geburtstag --*m.g.* (Diskussion) 15:11, 5. Mai 2018 (CEST)) ,soll Du hast den Farbfilm vergessen (mein Michael) als Video fröhliche Urständ feiern. Was liegt bei dem Titel Du hast den Farbfilm vergessen näher, als ein Video in Schwarz/Weiß oder genauer ausgedrückt ein Video , das nur Grautöne verwendet. Der RGB-Farbraum enthält auch Grautöne. Diesbezüglich definieren wir uns eine dreistellige Relation mit dem Namen $\ grau$ auf der Menge aller geordneten Tripel aus $\ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}$: Die Komponenten $f_r, \quad f_g$ und $\quad f_b$ eines Tripels $\left( f_r, f_g, f_b \right)$ mögen genau dann in der Relation $\ grau$ zueinander stehen, wenn das Tripel $\left( f_r, f_g, f_b \right)$ der Code für einen Grauwert ist. Es wäre interessant zu untersuchen, welche Tripel aus $\ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}$ so beschaffen sind, dass ihre jeweiligen Komponenten in der Relation $\ grau$ zueinander stehen. Bei dieser Formulierung bricht man sich fast die Zunge. Formulieren wir doch einfacher: Wir wollen untersuchen, welche geordneten Tripel aus $\ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}$ zur Relation $\ grau$ gehören. Für diese Untersuchung stellen wir uns ausnahmsweise ganz dumm und gehen mittels einer Brutal Force- Methode vor: Beginnend mit dem Tripel $\ (0, 0, 0)$ danach die Tripel $\ (0, 0, 1)$ und $\ (0, 0, 2)$ testend probieren wir systematisch alle $256^3$ Tripel bis zum Tripel $\ (255, 255, 255)$ aus, ob sie der Code für einen Grauwert sind oder nicht, bzw. zu unserer Relation $\ grau$ gehören oder nicht. Aus allen potentiell möglichen Tripeln haben wir die Tripel herausgesucht, die zu unserer Relation $\ grau$ gehören. Anders ausgedrückt: Auf der Suche nach allen geordneten Tripeln, die einen Grauwert codieren, haben wir eine Teilmenge unserer Grundmenge $\ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}$ gebildet. Diese Teilmenge ist letztlich unsere Relation. Die Untersuchungen ergaben (Der Leser überzeuge sich mittels [1].), dass immer dann ein Grauwert codiert wird, wenn die Komponenten des geordneten Tripels $\left( f_r, f_g, f_b \right)$ identisch sind: $\ (0, 0, 0)$, $\ (1, 1, 1)$, ..., $\ (255, 255, 255)$. Unsere Relation $\ grau$ ist damit eine Teilmenge aus $\ \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F}$, die 256 geordnete Tripel enthält. Als Quintessenz unserer Überlegungen können wir unser Relation $\ grau$ wie folgt präzisieren: Definition: ($\ grau$) $grau := \left\{ \left( f_r, f_g, f_b \right)|\left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b \right\}$ oder Definition: ($\ grau$) $\left( f_r, f_g, f_b \right)\in grau :\Longleftrightarrow \left( f_r, f_g, f_b \right)\in \mathcal{F} \times \mathcal{F} \times \mathcal{F} \wedge f_r=f_g=f_b$ Alles verstanden? Hier ein kleines Quiz zur Überprüfung Ihres Verständnisses für den Abschnitt mit dem Farbfilm. Wir legen den folgenden Überlegungen ein kartesisches $\ x - y - z-$Koordinatensystem zugrunde. Jedem Farbwert $\left( f_r, f_g, f_b \right)$ wird genau ein Punkt $\ P$ des $\mathbb{R}^3$ zugeordnet, wobei die $\ x-$Koordinate von $\ P$ dem Rotwert $\ f_r$, die $\ y-$Koordinate von $\ P$ dem Grünwert $\ f_g$ und die $\ z-$Koordinate von $\ P$ dem Blauwert $\ f_b$ entsprechen.[2] Wir wollen die Menge dieser Punkte als RGB-Farbraum bezeichnen. Alle die Punkte, die einem Grauwert entsprechen, sollen im folgenden die Grauwerte genannt werden. Pluspunkt für eine richtige Antwort:    Minuspunkte für eine falsche Antwort: Ignoriere den Fragen-Koeffizienten: 1. Welche der folgenden Aussagen ist richtig? Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum ein Würfel $\ W$ mit der Kantenlänge $\ 255 LE$. → Unter einem Würfel würden wir nur die Vereinigungsmenge der Seitenflächen verstehen. Bezüglich unseres Koordinatensystems ist der RGB-Farbraum das Innere von $\ W$. → Schon der Würfel und natürlich auch sein Inneres beinhalten unendlich (überabzählbar) viele Punkte. Die $\ 256^3$ Punkte dieser menge, deren Koordinaten natürliche Zahlen zwischen 0 und 255 sind dagegen nur eine endliche Teilmenge der menge der Punkte des Würfelinneren. Bezüglich unseres Koordinatensystems liegt der RGB-Farbraum im Inneren von $\ W$. → Nach den Bemerkungen zu den vorangegangenen Fragen dürfte das klar sein. Die Grauwerte sind eine Raumdiagonale von $\ W$. → Können 256 Punkte eine Diagonale sein? Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen $\overline{AG}$ von $\ W$, wobei $A=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $G=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 255 \end{pmatrix}$ gilt. → korrekt Die Grauwerte liegen auf der Raumdiagonalen $\overline{CE}$ von $\ W$, wobei $C=\begin{pmatrix} 255 \\ 255 \\ 0 \end{pmatrix}$ und $E=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 255 \end{pmatrix}$ gilt. → Da die Endpunkte dieser diagonalen keine Grauwerte repräsentieren ... . Die Relation $\ grau$ aus dem vorangegangenen Abschnitt läßt sich grafisch als eine Menge von Punkten darstellen, die auf der Raumdiagonalen $\overline{AG}$ von $\ W$ liegen. → Für diese Erkenntnis wurde dieses Quiz organisiert. Punkte: 0 / 0 Definition des Begriffs der Relation Definition: (n-stellige Relation) Es seien $M_1,\ M_2,\ M_3,\ ...,\ M_n\ n$ Mengen, wobei keine dieser Mengen die leere Menge ist. Jede Teilmenge aus $M_1 \times M_2 \times M_3 ...\times M_n$ ist eine $\ n-$stellige Relation.