Vorbereitung auf die Konferenz am 20.04.2020 10 Uhr Algebra

Das Arbeitsblatt Platz für Lösungen zu den Aufgaben Aufgabe 1.1 eingegebene Lösung a=pm+r und b=qm+r mit 0≤r≤m a-b=pm-qm=m*(p-q) => m|(a-b) Kommentar M.G. Der Beweis ist richtig. Ich schreibe ihn hier mal noch etwas ausführlicher auf. Beweisaufgabe Man beweise: Wenn $a \equiv b \mod m$, dann $m|(a-b)$. Voraussetzung $a \equiv b \mod m$ Behauptung $m|(a-b)$ Beweis Wir übersetzen die Voraussetzung: $a \equiv b \mod m$ bedeutet, dass $a$ und $b$ bei Division durch $m$ denselben Rest $r$ lassen. D.h. Es gibt ganze Zahlen $p$ und $q$ derart, dass (I) $a=p\cdot m +r$ und (II) $b=q \cdot m+r$ mit $0\leq r < m$ gilt. Wir übersetzen die Behauptung: zu zeigen ist, dass $m$ ein Teiler der Differenz $a-b$ ist, d.h. es ist zu zeigen dass es eine ganze Zahl $w$ mit $m \cdot w = a-b$ gibt. Wir schauen uns die Differenz $a-b$ genauer an: Wegen (I) und (II) gilt: $a - b = p \cdot m + r - (q \cdot +r) = p \cdot m +r -q \cdot m - r = p \cdot m - q \cdot m = (p-q)m$ wir setzen $w=p-q$ und haben damit gezeigt, dass $m$ die Differenz $a- b$ teilt. Aufgabe 1.2 a=pm+r1 und b=qm+r2 mit 0≤r≤m und r1≠r2 Aufgabe 1.3 Z5 [0 Überstrich, 1 Überstrich, 2 Überstrich, 3 Überstrich, 4 Überstrich] Die Menge enthält die Restklassen von Z5. Die Restklassen sind Teilmengen der ganzen Zahlen und bilden eine sog. Klasseneinteilung der Menge Z. Jede ganze Zahl findet sich höchstens in einer der Teilmengen wieder. Aufgabe 1.4 c=(3a+2)+(3b+1)=3a+3b+3=3|c Aufgabe 1.5 Aufgabe 1.6 Das + im Kreis steht für die Addition von 2 Restklassen. das + ohne Kreis steht für die Addition von a und b, davon nehmen wir die Restklasse. Aufgabe 1.7 Lösung 1 a Überstrich + (im Kreis) b Überstrich = a+b Überstrich a Überstrich + (im Kreis) b Überstrich = a' +(im Kreis) b' = a'+b' Überstrich zz. a'+b' Überstrich = a+b Überstrich a' ist identisch zu a mod m und b' ist identisch zu b mod m. Wegen a'+b' = a+b mod m gilt: a'+b' Überstrich = a+b Überstrich. Lösung 2 Kleine Hilfe zum Schreiben mathematischer Formeln und Ausdrücke im Wiki: Mathematische Ausdrücke werden durch die Tags <math> ... </math> generiert. Klicken Sie hierfür einfach auf das Summenzeichen im erweiterten Menü. Die Syntax der dann zu verwendenden Ausdrücke entspricht der der Seitenbeschreibungssprache LaTex. Suchen Sie z.B. einfach mit Google Bruch, Latex und sie werden fündig. Hier die Hilfeseite des Wiki zum Schreiben von Formeln: http://geometrie.zum.de/wiki/Formeln_verwenden Hier ein paar Übersetzungen a Überstrich: \overline{a}, $\overline{a}$ + im Kreis: \oplus, $\oplus$ a ist identisch bzw. äquivalent zu b: a \equiv b, $\equiv$ Die ganze Übersetzung: (I) a Überstrich + (im Kreis) b Überstrich = a+b Überstrich (II) a Überstrich + (im Kreis) b Überstrich = a' +(im Kreis) b' = a'+b' Überstrich (III) zz. a'+b' Überstrich = a+b Überstrich (IV) a' ist identisch zu a mod m und b' ist identisch zu b mod m. (V)Wegen a'+b' = a+b mod m (VI) gilt: a'+b' Überstrich = a+b Überstrich. (I) $\overline{a} \oplus \overline{b} = \overline{a+b}$ (II) $\overline{a} \oplus \overline{b} = a' \oplus b' =\overline{a'+b'}$ (III) z.z. $\overline{a'+b'} =\overline{a+b}$ (IV) $a \equiv b\mod m$ und $b' \equiv b \mod m$ (V) Wegen $a' + b'= a+b \mod m$ (VI) gilt: $\overline{a'+b'} =\overline{a+b}$ Hinweis: Ich habe wortwörtlich übersetzt, damit man besser sehen kann wie der Beweis läuft. Ob der Beweis ein echter Beweis ist? Aufgabe 1.8 Aufgabe 1.9 In 8-Bit-Bildern sind bis zu 256 Graustufen enthalten. Helligkeitswerte: 0=Schwarz; 255=Weiß Aufgabe 1.10 Nachbearbeitung des Meetings vom 20.04. Das Whiteboard Einen Link zum Whiteboard habe ich Ihnen per Mail geschickt. Sie könne dann direkt Bemerkungen dort machen. Whiteboard vom 20.04.2020 als png Whiteboard vom 20.04.2020 als svg Fragen von M.G. zur technischen Qualität Ich brauche ein wenig Rückkopplung: Um die Lesbarkeit Ihrer Mitschriften zu verbessern, ist es vielleicht sinnvoll, ein Hintergrundraster (z.B. Hybrid) im Whiteboard anzeigen zu lassen. Wie war der Ton Schlechter Ton ist anstrengend. Ich habe extra ein sehr gutes Mikro besorgt, weiß aber nicht ob es gut eingestellt war für den Zweck. Der Ton war gut. Allerdings ist es wichtig, dass alle Teilnehmer*innen - bis auf Sie - das Mikrofon ausstellen! Bildqualität Ich nehme extra einen kleinen Rechner mit recht geringer Bildschirmauflösung für die Meetings. Es hätte ja keinen Sinn, wenn ich mit enem Superbildschirm arbeite, auf vielen Endgeräten dann jedoch kaum noch was zu erkennen ist. War alles lesbar, was wäre zu verbessern? (grüne Tafel und Kreide sind durch nichts zu ersetzen). Fragen zum Lehrstoff Was ist unklar, worauf muss ich beim nächsten mal unbedingt eingehen, wozu wäre ein Erkärvideo nützlich? Fühlen Sie sich frei hier Ihre Fragen zu stellen: Frage 1 Wie werden Fotos oder Pdfs in Wiki eingefügt? Sie müssen im Wiki angemeldet sein. Dann im linken Menü die Werkzeuge ausklappen, Datei hochladen, den Anweisungen folgen.--*m.g.* (Diskussion) 12:09, 21. Apr. 2020 (CEST) Frage 2 Frage 3 ....