Vorlage:WS2016-2017/MAT01/Mathematische Grundlagen Ⅱ: Geometrie/Woche 4/Aufgabe 2

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Satz: In einem Dreieck \overline{ABC} mit \left|AC\right|< \left|BC\right|  < \left|AB\right| sind die Winkel \alpha und \beta nicht kongruent zueinander.

Inhaltsverzeichnis

a) Welcher Beweis ist korrekt?

Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1

Sei \overline{ABC} ein Dreieck.

Voraussetzung
\left|AC\right| < \left|BC\right|  < \left|AB\right|.
Behauptung
\left|\alpha\right|  \neq \left|\beta\right|
Beweis

Da nach Voraussetzung \left|AC\right|  \neq \left|BC\right| gilt, folgt nach dem Basiswinkelsatz \left|\alpha\right|  \neq \left|\beta\right|.

Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2

Sei \overline{ABC} ein Dreieck.

Voraussetzung
\left|AC\right|< \left|BC\right|  < \left|AB\right|.
Behauptung
\left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|
Beweis

Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn \left|\alpha\right|= \left|\beta\right| dann gilt \left|AC\right|= \left|BC\right|.

Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn \left|AC\right| \neq \left|BC\right| dann gilt \left|\alpha\right| \neq \left|\beta\right|.

Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen.

Da nach Voraussetzung gilt: \left|AC\right| < \left|BC\right|, d.h. \left|AC\right| \neq \left|BC\right|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: \left|\alpha\right|  \neq \left|\beta\right|.

Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch