Winkel, Innere eines Winkels, Nebenwinkel, Scheitelwinkel (WS10/11)

Winkel

Begriff des Winkels

Identifizieren von Winkeln

Repräsentanten und Gegenrepräsentanten

In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?

Punktmenge 1	Punktmenge 2	Punktmenge 3	Punktmenge 4
Punktmenge 5	Punktmenge 6	Punktmenge 7	Punktmenge 8

Tabelle 1

Winkelmodell	kein Winkelmodell
Punktmenge: 3, 5, 8	Punktmenge: 1, 2, 4, 6, 7

Prozeß der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung

In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die ander Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:

Realisieren von Winkeln

Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs

Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

Konstruktion eines Winkels

Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

Konstruktionsschritt	Beschreibung
	Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
	Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

Definition des Winkelbegriffs

Definition V.1: (Winkel)

Unter einem Winkel $\ \angle pq$ versteht man die Vereinigungsmenge zweier Strahlen p und q mit einem gemeinsamen Anfangspunkt S. Die beiden Strahlen sind die Schenkel des Winkels $\ \angle pq$. Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen heißt Scheitelpunkt S--Engel82 16:42, 7. Dez. 2010 (UTC)

Arten, Winkel zu beschreiben

Beispiel	Beschreibung	in Zeichen	Quelltext in Tex
	Winkel, der aus den beiden Strahlen $\ p$ und $\ q$ besteht.	$\angle pq$	\angle pq
	Winkel, der aus den beiden Strahlen $\ SA^+$ und $\ SB^+$ besteht.	$\angle ASB$	\angle ASB

Die Idee des gerichteten Winkels

Gerichtete Winkel werden in der Einführung in die Geometrie keine Rolle spielen. Trotzdem dürfen Sie hier ergänzen, was denn ein gerichtetet Winkel wäre.

Ein gerichteter Winkel ist ein Winkel, dessen Größe schon vorher bestimmt wird und man diesen nach der Vorgabe konstruiert! ?????

Das Innere eines Winkels

So ist es zu verstehen

Flashapplikation

Definition des Inneren eines Winkels

Definition V.2: (Inneres eines Winkels)

Unter dem Inneren eines Winkels $\ \angle ASB$ versteht man die Schnittmenge zweier Halbebenen ASB+ und BSA+.--Engel82 16:46, 7. Dez. 2010 (UTC)

Satz V.1

Das Innere eines Winkels ist konvex.

Beweis von Satz V.1

trivial entsprechend Satz IV., Satz IV.3 und der Definition V.2

Überstumpfe Winkel?

Bemerkung: Entsprechend Definition V.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Definition

Definition V.3: (Scheitelwinkel)

• Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn deren Schenkel ein sich schneidender Geraden bilden.--Engel82 16:48, 7. Dez. 2010 (UTC)
  

... wenn deren Schenkel ein Paar sich schneidender Geraden bilden.--Schnirch 10:23, 10. Dez. 2010 (UTC) 

• Die Winkel <SA+, <SB+ und <SA-, <SB- sind Scheitelwinkel.--Kinder Riegel 16:35, 8. Dez. 2010 (UTC)

eine Anmerkung zur Schreibweise: Sie sollten für die Bezeichnung eines Winkels nicht zweimal das Winkelzeichen < benutzen.
Besser wäre: $\angle SA^+,SB^+$ und $\angle SA^-,SB^-$--Schnirch 08:59, 14. Dez. 2010 (UTC)

Nebenwinkel

Definition

Definition V.4: (Nebenwinkel)

• Zwei Winkel sind Nebenwinkel, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden.--Engel82 16:51, 7. Dez. 2010 (UTC)
  
  
• Die Winkel <SA+, <SB+ und <SA-, <SB+ sind Nebenwinkel. --Kinder Riegel 16:32, 8. Dez. 2010 (UTC)