Winkel, Innere eines Winkels, Scheitelwinkel, Nebenwinkel WS 12 13

Winkel

Begriff des Winkels

Identifizieren von Winkeln

Repräsentanten und Gegenrepräsentanten

In welchen Fällen sind die jeweils blau gefärbten Punktmengen Modelle für Winkel?

Punktmenge 1	Punktmenge 2	Punktmenge 3	Punktmenge 4
Punktmenge 5	Punktmenge 6	Punktmenge 7	Punktmenge 8

Tabelle 1

Winkelmodell	kein Winkelmodell
Punktmenge:	Punktmenge:

Prozess der Begriffserarbeitung als Generierung einer Klasseneinteilung

In der Didaktik bezeichnen wir die Art und Weise der Erarbeitung eines neuen Begriffs entsprechend obiger Tabelle als induktive Begriffserarbeitung: Eine gewisse Menge an Repräsentanten und Gegenrepräsentanten bezüglich des zu erarbeitenden Begriffs wird vorgegeben. Dann teilt man diese Menge in genau zwei Klassen ein. Die eine Klasse bilden alle Begriffsrepräsentanten, die andere Menge der Rest.

Aufgabe: Ergänzen Sie Tabelle 1 durch weitere Repräsentanten bzw. Gegenrepräsentanten zur Erarbeitung des Winkelbegriffs.

Zum besseren Verständnis: Analoge Erarbeitung des Begriffs Trapez:

Realisieren von Winkeln

Die Idee des konstruktiven Begriffserwerbs

Während beim induktiven Begriffserwerb das Ausgangsmaterial für den Schüler bereits vorgefertigt wurde, generiert er es sich beim konstruktiven Begriffserwerb selbst. Der gute Lehrer läßt in der Regel beide Varianten zur Anwendung kommen.

Konstruktion eines Winkels

Aufgabe: Zeichne einen Winkel

Lösung:

Konstruktionsschritt	Beschreibung
	Zeichne einen Strahl. Nenne den Anfangspunkt S und einen weiteren Punkt auf dem Strahl B.
	Zeichne einen zweiten Strahl, der im Anfangspunkt S beginnt. Zeichne einen Punkt A auf dem zweiten Strahl ein.

Definition des Winkelbegriffs

Definition III.1: (Winkel)

Unter einem Winkel verseht man ... ergänzen Sie

Ein Winkel ∢BAC (∢pq) ist die Vereinigungsmenge zweier Strahlen AB+ (p) und AC+ (q) mit dem gemeinsamen Anfangspunkt A (Scheitelpunkt: S).--RM2208 19:52, 6. Jan. 2013 (CET) (aus der VL)

Arten, Winkel zu beschreiben

Beispiel	Beschreibung	in Zeichen	Quelltext in Tex
	Winkel, der aus den beiden Strahlen $\ p$ und $\ q$ besteht.	$\angle pq$	\angle pq
	Winkel, der aus den beiden Strahlen $\ SA^+$ und $\ SB^+$ besteht.	$\angle ASB$	\angle ASB

Das Innere eines Winkels

So ist es zu verstehen

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Klicken Sie auf die Steuerknöpfe um die Halbebenen ein- und auszublenden.

Definition des Inneren eines Winkels

Definition III.2: (Inneres eines Winkels)

Unter dem Inneren eines Winkels ... ergänzen Sie

Unter dem Inneren eines Winkels ∢ASB versteht man die Schnittmenge der beiden Halbebenen ASB⁺ und BSA⁺. Zum Inneren gehören auch die Schenkel.

Schreibweise: Inneres des Winkels ∢ ASB := ASB⁺ ∩ BSA⁺

--RM2208 16:55, 4. Jan. 2013 (CET)

• Sehr gut!--Tutorin Anne 22:16, 5. Jan. 2013 (CET)

Satz III.1

Das Innere eines Winkels ist konvex.

Beweis von Satz III.1

trivial entsprechend Satz II.2, Satz II.3 und der Definition III.2

Überstumpfe Winkel?

Bemerkung: Entsprechend Definition III.2 beinhaltet unsere Geometrie keine überstumpfen Winkel.

Scheitelwinkel und Nebenwinkel

Scheitelwinkel

Definition

Definition III.3: (Scheitelwinkel)

Die Winkel ∢ ASB und ∢ CSD sind Scheitelwinkel, wenn jeweils ein Schenkel von ∢ ASB mit einem Schenkel von ∢ CSD eine Gerade bildet. --RM2208 16:40, 4. Jan. 2013 (CET)(aus der VL)

Die Winkel ∢ SA+, SB+ und SA-, SB- sind ein Paar von Scheitelwinkel --RM2208 17:12, 4. Jan. 2013 (CET) (aus der VL)

Nebenwinkel

Beispiele und Gegenbeispiele

Hier sind Beispiele aus der Classroompresenter-Übung vom 20.04.12. Kommentieren Sie die Definitionsversuche!

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Definition

Definition III.4: (Nebenwinkel)

Ihre Definition: Nebenwinkel sind Winkel, die einen gemeinsamen Schenkel haben, die sich um 180˚ ergänzen und auf einer Geraden liegen. --RM2208 16:58, 4. Jan. 2013 (CET)

• Schon nicht schlecht, aber noch nicht eindeutig formuliert.--Tutorin Anne 22:20, 5. Jan. 2013 (CET)

Habe ich so aus der VL? --> Zwei Winkel mit genau einem gemeinsamen Schenkel, die sich um 180 Grad ergänzen und auf einer Geraden liegen heißen Nebenwinkel. Ist das dann korrekt? Wegen dem "zwei Winkel"? Oder warum? --RM2208 19:55, 6. Jan. 2013 (CET)

• Also mir ist dieses "180 Grad ergänzen" irgendwie zu ungenau. Was ergänzt sich? Und was genau liegt auf einer Geraden? Die Winkel, der gemeinsame Schenkel, oder was genau?--Tutorin Anne 21:13, 6. Jan. 2013 (CET)

Also ich würde einfach sagen; Zwei Winkel $\angle ABC und \angle DEF$ bilden ein Paar von Nebenwinkeln, wenn sie einen Schenkel gemeinsam haben und die beiden anderen Schenkel eine Gerade bilden. Somit habe ich die 180 Grad nicht enthalten und meiner Meinung nach müsste das ganze so passsen ;-)--Hakunamatata 14:45, 18. Jan. 2013 (CET)--Hakunamatata 14:45, 18. Jan. 2013 (CET)

• Ja, sehe ich auch so.--Tutorin Anne 12:04, 20. Jan. 2013 (CET)