Winkelmaß, Rechte Winkel, Orientierte Winkel SoSe 17

Das Winkelmaß

Was bedeutet es, die Größe eines Winkels zu messen?

Länge einer Strecke	Größe eines Winkels
nichtnegative reelle Zahl	reelle Zahl zwischen 0 und 180

Definition IV.6 : (Winkelmaß)

Jedem Winkel $\ \alpha$ kann genau eine reelle Zahl $\ \omega$ zwischen 0 und 180 zugeordnet werden. Diese Zahl wird als Größe oder als Maß des Winkels $\ \alpha$ bezeichnet.
In Zeichen: $\omega = \left| \alpha \right|$.

Wie aus der Schule bekannt, lassen sich Winkelgrößen addieren oder auch subtrahieren:
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Satz IV.1

Wenn der Punkt $\ P$ im Inneren des Winkels $\ \angle ASB$ und nicht auf einem der Schenkel des Winkels $\ \angle ASB$ liegt, dann ist die Größe der beiden Teilwinkel $\ \angle ASP$ und $\ \angle PSB$ jeweils kleiner als die Größe des Winkels $\ \angle ASB$.

Beweis von Satz IV.1

Für diesen Beweis benötigen wir spezielle Winkelaxiome, auf die wir an dieser Stelle aber verzichten wollen.

Rechte Winkel

Definition IV.2 : (Rechter Winkel)

Wenn ein Winkel die selbe Größe wie einer seiner Nebenwinkel hat, so ist er ein rechter Winkel.

Definition IV.3 : (Supplementärwinkel)

Zwei Winkel heißen supplementär, wenn die Summe ihrer Größen 180 beträgt.

Satz IV.2:

Nebenwinkel sind supplementär.

Satz IV.3a :

Jeder rechte Winkel hat das Maß 90.

Beweis von Satz IV.3a  :

Übungsaufgabe

Satz IV.3b :

Jeder Winkel, der das Maß 90 hat ist ein rechter Winkel.

Beweis von Satz IV.3b  :

Übungsaufgabe

Wir haben somit in der Aussage, das Maß 90 zu haben, eine hinreichende und notwendige Bedingung dafür gefunden, ein rechter Winkel zu sein und damit ein Kriterium für einen rechten Winkel gefunden. Dieses Kriterium eignet sich somit als neue Definition des Begriffs "rechter Winkel":

Definition IV.4 : (Rechter Winkel)

Versuchen Sie sich...

Die Relation Senkrecht auf der Menge der Geraden

Definition IV.5 : (Relation senkrecht auf der Menge der Geraden)

Es seien $\ g$ und $\ h$ zwei Geraden. Wenn sich $\ g$ und $\ h$ schneiden und bei diesem Schnitt rechte Winkel entstehen, dann stehen die Geraden $\ g$ und $\ h$ senkrecht aufeinader.

In Zeichen: $\ g \perp \ h$ (in der Formelbeschreibungssprache Tex: \perp , läßt sich gut merken, von perpendicular)

Definition IV.6 : (noch mehr Senkrecht)

Eine Gerade $\ g$ und eine Strecke $\overline{AB}$ stehen senkrecht aufeinander, wenn ...

Eigenschaften der Relation senkrecht

1. Die Relation eine Gerade steht senkrecht auf einer anderen Geraden hat die folgenden Eigenschaften:

	Sie ist reflexiv.
	Sie ist symmetrisch.
	Sie ist transitiv.
	Sie ist keine Äquivalenzrelation.
	Sie erzeugt eine Klasseneinteilung auf der Menge aller Geraden.
	Zwei Geraden sind entweder identisch oder stehen senkrecht aufeinander.

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Orientierte Winkel

Für die kommende Abbildungsgeometrie ist es manchmal hilfreich neben einem Winkel und seinem Winkelmaß auch eine Drehrichtung anzugeben. Diese Drehrichtung gibt die Richtung (im oder gegen den Uhrzeigersinn)an, um die ein Schenkel a um den Scheitelpunkt S gedreht werden muss, damit er auf dem zweiten Schenkel b zu liegen kommt. Die Drehrichtung wird dabei durch einen Pfeil angezeigt.

Definition IV.7 : (Orientierter Winkel)

Ein Winkel, bei dem die Drehrichtung mit angegeben ist, nennt man Orientierter Winkel.