Lösung von Aufg. 6.4 (WS 11/12): Unterschied zwischen den Versionen
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Vor: nkoll(A,B,C) | Vor: nkoll(A,B,C) | ||
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Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math> | Beh: <math>A\neq B\neq C\neq A</math> | ||
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Vor: A=B=C | Vor: A=B=C | ||
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Beh: koll(A,B,C) | Beh: koll(A,B,C) | ||
{| class="wikitable" | {| class="wikitable" | ||
Version vom 23. Dezember 2011, 13:06 Uhr
Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.
- Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien
, 
und 
drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
- Beweisen Sie Satz I indirekt.
- Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
- Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
- Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
- Gilt auch die Umkehrung von Satz I?
zu 1. Wenn A,B,C nicht kollinear sind, dann sind sie paarweise verschieden.
zu 2. Behauptung: A ungleich B ungleich C
Annahme: o.B.d.A. A = B
Beiweis:
| Schritt | Begründung |
 |
Vorraussetzung A,B,C koll Axiom I1 (Was ist mit A,B,C koll gemeint? Nach VSS gilt nkoll(A,B,C)).--Tutor Andreas Sorry war ein Tippfehler muss natürlich nkoll heißen.15:04, 19. Nov. 2011 (CET) |
| BC=AC | Annahme A=B |
| AB=A=B | Annahme (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--Tutor Andreas 15:04, 19. Nov. 2011 (CET)Wie verdeutlicht mann dann, dass wenn Punkt A gleich Punkt B, dass es der gleiche Punkt ist Wenn A=B ist AB ja auch keine Gerade, da eine Gerade durch zwei verschiedene Punkte definiert wird.--RicRic 21:48, 21. Nov. 2011 (CET) |
| koll(A,B,C) | Wiederspruch zur Voraussetzung, daraus folgt die Punke müssen paarweise verschieden sein. |
- Rückfrage: Was wäre denn, wenn auch zusätzlich noch A=C wäre? Könnte man denn dann einfach so koll(A,B,C) schließen? --Spannagel 12:57, 28. Nov. 2011 (CET)
zu 3. Wenn A,B,C nicht paarweise verschieden, dann sind sie Kollinear.
zu 4. Voraussetzung Es seien drei Punkte A,B,C und o.B.d.A A=B
Behauptung: koll (A,B,C)
Beweis:
| Schritt | Begründung |
| |
Axiom I/1 (Das Axiom I1 liefert, um genau zu sein, keine 3 Geraden. Das heißt, die Begründung muss erweitert werden.)--Tutor Andreas 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) Satz I/3--RicRic 21:48, 21. Nov. 2011 (CET) |
| BC=AC | Voraussetzung A=B |
| AB=A=B | Voraussetzung (Diese Aussage finde ich etwas fragwürdig, denn nach Axiom I2 besteht jede Gerade aus mindestens 2 Punkten. Nach dieser Aussage würde aber eine Gerade existieren, die aus einem Punkt besteht, da A und B identisch sind bzw. wenn dies gelten würde, dann wäre doch streng genommen jeder Punkt eine Gerade... was sagen denn andere dazu?)--Tutor Andreas 15:04, 19. Nov. 2011 (CET) |
| koll(A,B,C) | Axiom I/1 |
zu 5. Drei paarweise verschiedene Punkte sind nicht kollinar
zu 6. Nein, da auch Punkte existieren, welche koll sind und paarweise verschieden.--LGDo12 13:07, 17. Nov. 2011 (CET)
Aufgabe 6.4.2
Vor: nkoll(A,B,C)
Beh: 
Ann: A=B o.B.d.A
| Schritt | Begründung |
| A=B | Vor |
 |
Axiom I/1 |
 |
(1),(2) |
| koll(A,B,C) | (3), Def koll |
Aufgabe 6.4.4
Vor: A=B=C
Beh: koll(A,B,C)
| Schritt | Begründung |
| A=B=C | Vor |
| |
Axiom I/1 |
| |
(1),(2) |
| koll(A,B,C) | (3), Def koll |
--Mohnkuh 12:59, 23. Dez. 2011 (CET)
