Lösung von Aufg. 14.4 (WS 11/12: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 3. Februar 2012, 10:37 Uhr

Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.
a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel $\angle MAB$ , wenn die Gerade g zur Tangente am Kreis k im Punkt A wird?

Der Winkel $\angle MAB$ wird zum rechten Winkel, $MAB \ \perp \ g$ --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

Also genau genommen verschwindet der Winkel $\angle MAB$ , da der Punkt A und B identisch ist. Es müsste also heißen: $\angle MAZ \ \perp \ g$
Hier muss man nur aufpassen, dass ein Winkel nicht senkrecht auf einer Geraden stehen kann, sondern nur Geraden senkrecht auf Geraden. --Tutor Andreas 10:23, 3. Feb. 2012 (CET)

b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade g Tangente an einem Kreis k im Berührpunkt A ist, dann ...

...steht der Radius $\overline{MA}$ senkrecht auf g --Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)

Auch hier wieder der Hinweis: Es müsste eigentlich heißen: "steht die durch den Radius $\overline {MA}$ eindeutig bestimmte Gerade senkrecht auf g. --Tutor Andreas 10:26, 3. Feb. 2012 (CET) c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.

Voraussetung: g Tangente an k, $A \in g \ \wedge \ A \in k$ , $\overline{MA}$ ist Radius
Behauptung: $\overline{MA} \ \perp \ g$
Annahme: $\overline{MA} \ \not\perp \ g$
(1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft $\ l \ \perp \ g: {B} \ \wedge \ l \neq \overline{MA}$ Hier sollte ergänzt werden, wo der Punkt B liegt
(2) Antragen Punkt $C$ auf Strahl $\ BA^{-} \in \left| BC \right| = \left| BA \right|$
(3) $\overline{BMA} \equiv \overline{BMC}$ nach SWS
(4) $\left| MC \right| = \left| MA \right|$ nach 3. und Dreieckskongruenz
(5) $\left| MA \right|$ ist Radius nach Vorausssetzung
(6) $\left| MC \right|$ ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.
(7) $C \in g \ \wedge \ C \in k$ nach 6.
Widerspruch zur Voraussetung!--Phhd mat 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)
Ich würde hier vielleicht noch ergänzen, dass aus Schritt (7) und der VSS, dass A $\in$ g gilt, g keine Tangente des Kreises k sein kann. --Tutor Andreas 10:37, 3. Feb. 2012 (CET)

d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.

e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)

--> Wenn eine Gerade g durch den Berührpunkt A des Kreiss k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist g genau dann Tangente an k, wenn g senkrecht auf MA steht.

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 Schauen Sie sich das nachfolgende Applet an und bewegen Sie die Figur am Punkt Z.<br />
 a) Welche Bedingung ergibt sich für den dargestellten Winkel <math>\angle MAB</math>, wenn die Gerade ''g'' zur Tangente am Kreis ''k'' im Punkt ''A'' wird?<br /><br />
+Der Winkel <math>\angle MAB</math> wird zum rechten Winkel, <math>MAB \ \perp \ g</math> --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br />
+<br />Also genau genommen verschwindet der Winkel <math>\angle MAB</math>, da der Punkt A und B identisch ist. Es müsste also heißen: <math>\angle MAZ \ \perp \ g</math><br />
+Hier muss man nur aufpassen, dass ein Winkel nicht senkrecht auf einer Geraden stehen kann, sondern nur Geraden senkrecht auf Geraden. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:23, 3. Feb. 2012 (CET)
+<br />
 b) Ergänzen Sie mit der Erkenntnis aus a) den folgenden Satz: Wenn eine Gerade ''g'' Tangente an einem Kreis ''k'' im Berührpunkt ''A'' ist, dann ...<br /><br />
+...steht der Radius <math>\overline{MA} </math>senkrecht auf ''g'' --[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br /><br />
+Auch hier wieder der Hinweis: Es müsste eigentlich heißen: "steht die durch den Radius <math>\overline {MA}</math> eindeutig bestimmte Gerade senkrecht auf g. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:26, 3. Feb. 2012 (CET)
 c) Beweisen Sie den Satz aus b) indirekt.<br /><br />
+Voraussetung: ''g'' Tangente an ''k'', <math>A  \in g \ \wedge \  A \in k</math>, <math>\overline{MA}</math> ist Radius<br />
+Behauptung: <math>\overline{MA} \ \perp \ g</math><br />
+Annahme: <math>\overline{MA} \  \not\perp \ g</math><br />
+(1) Es existiert ein Lot mit der Eigenschaft <math>\ l \ \perp \ g: {B} \  \wedge \ l \neq  \overline{MA}</math> Hier sollte ergänzt werden, wo der Punkt B liegt<br />
+(2) Antragen Punkt <math>C</math> auf Strahl <math>\ BA^{-} \in \left| BC \right| = \left| BA \right|</math> <br />
+(3) <math>\overline{BMA} \equiv \overline{BMC}</math> nach SWS<br />
+(4) <math>\left| MC \right| = \left| MA \right|</math> nach 3. und Dreieckskongruenz<br />
+(5) <math>\left| MA \right|</math> ist Radius nach Vorausssetzung<br />
+(6) <math>\left| MC \right|</math> ist ebenfalls Radius nach 4. und 5.<br />
+(7) <math>C  \in g \ \wedge \  C \in k</math> nach 6.<br />
+Widerspruch zur Voraussetung!--[[Benutzer:Phhd mat|Phhd mat]] 11:12, 30. Jan. 2012 (CET)<br />
+Ich würde hier vielleicht noch ergänzen, dass aus Schritt (7) und der VSS, dass A <math>\in</math> g gilt, g keine Tangente des Kreises k sein kann. --[[Benutzer:Andreas|Tutor Andreas]] 10:37, 3. Feb. 2012 (CET)
 d) Gilt auch die Umkehrung des Satzes aus b)? Beweisen Sie dies.<br /><br />
 e) Entwickeln Sie ein Tangentenkriterium aus b) und d)<br />
+--> Wenn eine Gerade g durch den Berührpunkt A des Kreiss k mit dem Mittelpunkt M verläuft, ist g genau dann Tangente an k, wenn g senkrecht auf MA steht.
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