Serie 3 (WS 12 13: Unterschied zwischen den Versionen

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Die Schüler erhalten die Aufgabe eine beliebiges Dreieck zu zeichnen und abschließend auszuschneiden. Dann reißen sie die "Winkel" <math>\alpha</math> und <math>\beta </math> ab. Die abgerissenen Winkel werden abschließend an den Winkel <math>\gamma</math> derart angelegt, dass ein gestreckter Winkel entsteht. Die Innenwinkelsumme des Dreiecks muss also 180° betragen. (s. Flash-App)<br /><br />
 
Die Schüler erhalten die Aufgabe eine beliebiges Dreieck zu zeichnen und abschließend auszuschneiden. Dann reißen sie die "Winkel" <math>\alpha</math> und <math>\beta </math> ab. Die abgerissenen Winkel werden abschließend an den Winkel <math>\gamma</math> derart angelegt, dass ein gestreckter Winkel entsteht. Die Innenwinkelsumme des Dreiecks muss also 180° betragen. (s. Flash-App)<br /><br />
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Bei aller Sympatie für die Idee der enaktiven Beweisführung, der Beweis ist nicht korrekt. Warum nicht?
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Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:<br /><br />
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Satz (*): Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. <br />Wenn die Winkelpaare <math>\angle BAC</math> und <math>\angle PCA</math> bzw. <math>\angle ABC</math> und <math>\angle QCB</math> jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind, <br />dann gehören die Punkte <math>P, C</math> und <math>Q</math> ein und derselben Geraden an.
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Führen Sie einen Widerspruchsbeweis für Satz (*).<br />
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Hilfe: Es gelten die folgenden Aussagen:<br />
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# Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Wenn beim Schnitt zweier Geraden <math>a</math> und <math>b</math> durch eine dritte Gerade <math>c</math> kongruente Wechselwinkel entstehen, dann sind <math>a</math> und <math>b</math> zueinander parallel.
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# Euklidisches Parallelenaxiom: (alles in der Ebene) Durch einen Punkt <math>P</math> außerhalb der Geraden <math>g</math> gibt es höchsten eine Parallele zu <math>g</math>.
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==Aufgabe 3.5==
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Es gilt der Satz (IWSV): In jedem Viereck beträgt die Summe der Größen der Innenwinkel 360°.<br />
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Formulieren Sie die Kontraposition von Satz (IWSV)
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==Aufgabe 3.6==
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'''Satz: In einem Dreieck <math>\overline{ABC} </math> mit  |AC|< |BC|  < |AB|  sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.
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'''a) Welcher Beweis ist korrekt?''' Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)<br /><br />
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'''Beweis 1)'''<br />
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
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Bew: Da nach Voraussetzung |AC|  ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.
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'''Beweis 2)'''<br />
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Sei <math>\overline{ABC} </math> ein Dreieck.<br />
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Vor:  |AC|< |BC|  < |AB|. <br />
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Beh:  |α|  ≠ |β|<br />
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Bew:  Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt:  Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also:  Wenn  |AC|  ≠ |BC|  dann gilt |α|  ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC|  ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α|  ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.<br /><br />
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b) '''Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.'''<br />
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Aktuelle Version vom 11. November 2012, 19:58 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 2

Aufgabe 3.1

Referendarin Lisa muss den Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck mit ihrer 7b behandeln. In die fachlichen Vorbetrachtungen zur entsprechenden Einführungsstunde will sie den Satz auch in der Wenn-Dann-Form aufnehmen. Sie formuliert:

Satz: Wenn ein Dreieck drei Ecken hat, dann haben die Innenwinkel 180°.


(a) Warum ist die obige Formulierung des Innenwinkelsatzes nicht korrekt? (b) Geben Sie eine korrekte Formulierung des Innenwinkelsatzes in der Wenn-Dann_form an.

Lösung von Aufgabe 3.1 WS_12_13

Aufgabe 3.2

Zur Erarbeitung des Satzes hat Lisa eine Geogebra-App erstellt:



Die Schüler generieren durch Ziehen an den Eckpunkten verschiedene Dreiecke und stellen fest, dass die Innenwinkelsumme immer 180° beträgt.
Danach formulieren sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke. Lisa möchte dann mit den Schülern den Satz beweisen. Ihre Schüler sehen das nicht ein, die App wäre ja Beweis genug. Helfen Sie Lisa.

Lösung von Aufgabe 3.2 WS_12_13


Aufgabe 3.3

Mit Ihrer Hilfe hat es Lisa geschafft, die 7b von der Notwendigkeit eines korrekten Beweises des Innenwinkelsatzes zu überzeugen. Für den Beweis selbst wählt sie die bekannte enaktive Variante:

Die Schüler erhalten die Aufgabe eine beliebiges Dreieck zu zeichnen und abschließend auszuschneiden. Dann reißen sie die "Winkel" \alpha und \beta ab. Die abgerissenen Winkel werden abschließend an den Winkel \gamma derart angelegt, dass ein gestreckter Winkel entsteht. Die Innenwinkelsumme des Dreiecks muss also 180° betragen. (s. Flash-App)

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Bei aller Sympatie für die Idee der enaktiven Beweisführung, der Beweis ist nicht korrekt. Warum nicht?

Lösung von Aufgabe 3.3 WS_12_13

Aufgabe 3.4

Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:

Satz (*): Es sei \overline{ABC} ein Dreieck.
Wenn die Winkelpaare \angle BAC und \angle PCA bzw. \angle ABC und \angle QCB jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind,
dann gehören die Punkte P, C und Q ein und derselben Geraden an.



Führen Sie einen Widerspruchsbeweis für Satz (*).

Hilfe: Es gelten die folgenden Aussagen:

  1. Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Wenn beim Schnitt zweier Geraden a und b durch eine dritte Gerade c kongruente Wechselwinkel entstehen, dann sind a und b zueinander parallel.
  2. Euklidisches Parallelenaxiom: (alles in der Ebene) Durch einen Punkt P außerhalb der Geraden g gibt es höchsten eine Parallele zu g.

Lösung von Aufgabe 3.4 WS_12_13

Aufgabe 3.5

Es gilt der Satz (IWSV): In jedem Viereck beträgt die Summe der Größen der Innenwinkel 360°.

Formulieren Sie die Kontraposition von Satz (IWSV)

Lösung von Aufgabe 3.5 WS_12_13

Aufgabe 3.6

Satz: In einem Dreieck \overline{ABC} mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1)
Sei \overline{ABC} ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2)
Sei \overline{ABC} ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

Lösung von Aufgabe 3.6 WS_12_13


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