Aufgaben zu Sätzen und Beweisen Teil 2

Aufgabe 3.1

Referendarin Lisa muss den Satz über die Innenwinkelsumme im Dreieck mit ihrer 7b behandeln. In die fachlichen Vorbetrachtungen zur entsprechenden Einführungsstunde will sie den Satz auch in der Wenn-Dann-Form aufnehmen. Sie formuliert:

Satz: Wenn ein Dreieck drei Ecken hat, dann haben die Innenwinkel 180°.

(a) Warum ist die obige Formulierung des Innenwinkelsatzes nicht korrekt? (b) Geben Sie eine korrekte Formulierung des Innenwinkelsatzes in der Wenn-Dann_form an.

Lösung von Aufgabe 3.1 WS_12_13

Aufgabe 3.2

Zur Erarbeitung des Satzes hat Lisa eine Geogebra-App erstellt:

Die Schüler generieren durch Ziehen an den Eckpunkten verschiedene Dreiecke und stellen fest, dass die Innenwinkelsumme immer 180° beträgt.
Danach formulieren sie den Innenwinkelsatz für Dreiecke. Lisa möchte dann mit den Schülern den Satz beweisen. Ihre Schüler sehen das nicht ein, die App wäre ja Beweis genug. Helfen Sie Lisa.

Lösung von Aufgabe 3.2 WS_12_13

Aufgabe 3.3

Mit Ihrer Hilfe hat es Lisa geschafft, die 7b von der Notwendigkeit eines korrekten Beweises des Innenwinkelsatzes zu überzeugen. Für den Beweis selbst wählt sie die bekannte enaktive Variante:

Die Schüler erhalten die Aufgabe eine beliebiges Dreieck zu zeichnen und abschließend auszuschneiden. Dann reißen sie die "Winkel" und ab. Die abgerissenen Winkel werden abschließend an den Winkel derart angelegt, dass ein gestreckter Winkel entsteht. Die Innenwinkelsumme des Dreiecks muss also 180° betragen. (s. Flash-App)

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Bei aller Sympatie für die Idee der enaktiven Beweisführung, der Beweis ist nicht korrekt. Warum nicht?

Lösung von Aufgabe 3.3 WS_12_13

Aufgabe 3.4

Wir stellen den enaktiven "Beweis" vom Kopf auf die Füße:

Satz (*): Es sei ein Dreieck.
Wenn die Winkelpaare und bzw. und jeweils zueinander kongruente Wechselwinkel sind,
dann gehören die Punkte und ein und derselben Geraden an.

Führen Sie einen Widerspruchsbeweis für Satz (*).

Hilfe: Es gelten die folgenden Aussagen:

1. Umkehrung des Wechselwinkelsatzes: Wenn beim Schnitt zweier Geraden und durch eine dritte Gerade kongruente Wechselwinkel entstehen, dann sind und zueinander parallel.
2. Euklidisches Parallelenaxiom: (alles in der Ebene) Durch einen Punkt außerhalb der Geraden gibt es höchsten eine Parallele zu .

Lösung von Aufgabe 3.4 WS_12_13

Aufgabe 3.5

Es gilt der Satz (IWSV): In jedem Viereck beträgt die Summe der Größen der Innenwinkel 360°.

Formulieren Sie die Kontraposition von Satz (IWSV)

Lösung von Aufgabe 3.5 WS_12_13

Aufgabe 3.6

Satz: In einem Dreieck mit |AC|< |BC| < |AB| sind die Winkel α und β nicht kongruent zueinander.

a) Welcher Beweis ist korrekt? Begründen Sie ausführlich! (Der Basiswinkelsatz und seine Umkehrung seien bereits bewiesen.)

Beweis 1)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Da nach Voraussetzung |AC| ≠ |BC| gilt nach dem Basiswinkelsatz |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

Beweis 2)
Sei ein Dreieck.
Vor: |AC|< |BC| < |AB|.
Beh: |α| ≠ |β|
Bew: Nach Umkehrung des Basiswinkelsatzes gilt: Wenn |α|= |β| dann gilt |AC|= |BC|. Die Kontraposition der Umkehrung lautet also: Wenn |AC| ≠ |BC| dann gilt |α| ≠ |β|. Da die Kontraposition gleichwertig ist, kann man auch diese beweisen. Da nach Voraussetzung gilt: |AC|< |BC|, d.h. |AC| ≠ |BC|, kann nach Kontraposition der Umkehrung des Basiswinkelsatzes direkt gefolgert werden: |α| ≠ |β|. Damit ist der Satz bewiesen.

b) Beweisen Sie den Satz indirekt mit Widerspruch.

Lösung von Aufgabe 3.6 WS_12_13