Serie 11 (WS 12 13): Unterschied zwischen den Versionen

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[[Lösung Aufgabe 11.01 WS_12_13]]
 
[[Lösung Aufgabe 11.01 WS_12_13]]
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=Aufgabe 11.02=
 
=Aufgabe 11.02=
 
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br />
 
Es seien <math>A, B, C</math> drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel <math>\alpha=\angle CAB</math> und <math> \beta= \angle CBA</math> seien kongruent zueinander. <br />
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Begründung hierfür:<br />
 
Begründung hierfür:<br />
 
..................................................
 
..................................................
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===Was wäre wenn nicht===
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Annahme: <math>C \not \in m_c</math>
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{| class="wikitable"  
 
{| class="wikitable"  
 
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
 
!Nr.!!Beweischritt!!Begründung
 
|-  
 
|-  
−
| (1) || 2 || ...
+
| (1) || <math>m_c</math> schneidet o.B.d.A. <math>\overline{CA}</math> in einem Punkt, den wir <math>c^*</math> nennen wollen || ...
 
|-  
 
|-  
−
| (2) || 4 || ...
+
| (2) || <math>\overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B}</math> || ...
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|-
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| (3) || <math>\alpha \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
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|-
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| (4) || <math>\beta \tilde= \alpha</math> || ...
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|-
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| (5) || <math>\beta \tilde= \angle C^*BA</math> || ...
 
|}
 
|}
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Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:<br /><br />
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Die beiden Winkel <math>\beta</math> und <math>\angle C^*BA</math> sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe. <br />Weil sie auch den Schenkel <math>BA^+</math> gemeinsam haben und <math>C</math> und <math>C^*</math> in derselben Halbebene bzgl. <math>AB</math> liegen, <br />müssen die die Schenkel <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> nach dem ... identisch sein.<br />
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Wegen dieser Identität der beiden Strahlen <math>BC^+</math> und <math>BC^{*+}</math> und weil <math>C</math>
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der Schnittpunkt von <math>BC</math> mit <math>AC</math> und <math>C^{*}</math> der Schnittpunkt von <math>BC^*</math> mit <math>AC</math> ist, sind  ..... identisch.
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Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte <math>m_c</math> durch den Punkt <math>C</math>. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall <math>\overline{AC} \tilde= \overline{BC}</math> gilt. q.e.d.
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[[Lösung Aufgabe 11.02 WS_12_13]]
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=Aufgabe 11.03=
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Es sei <math>\alpha</math> ein Winkel mit den Schenkeln <math>g</math> und <math>h</math> und dem Scheitel <math>S</math>. Ferner sei <math>w</math> die Winkelhalbierende von <math>\alpha</math>, also ein Strahl im Inneren von <math>\alpha</math>, der als Anfangspunkt S hat und <math>\alpha</math> in zwei kongruente Teilwinkel <math>\alpha_1</math> und <math>\alpha_2</math> teilt. Auf <math>w</math> sei ein beliebiger von <math>S</math> verschiedener Punkt <math>P</math> gegeben. <math>F_g</math> sei der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>h</math>:<br /><br />
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<ggb_applet width="558" height="463"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" />
 +
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<br /><br />
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Wir konstruieren jetzt auf dem Schenkel <math>h</math> den Punkt <math>F_g</math>, indem wir auf <math>h</math> den Abstand <math>|SF_g|</math> abtragen:
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<ggb_applet width="558" height="463"  version="4.2" ggbBase64="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" showResetIcon = "false" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" useBrowserForJS = "true" allowRescaling = "true" /><br /><br /><br />
 +
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Beweisen Sie: <math>F_g</math> ist der Fußpunkt des Lotes von <math>P</math> auf <math>g</math>.<br /><br />
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[[Lösung Aufgabe 11.03 WS_12_13]]
 +
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=Aufgabe 11.04=
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Definieren Sie: Abstand eines Punktes <math>P</math> zu einer Geraden <math>g</math>:
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[[Lösung Aufgabe 11.04 WS_12_13]]
 +
 +
 +
=Aufgabe 11.05=
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Ergänzen Sie die folgende Implikation:<br />
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Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels <math>\alpha</math> gehört, dann hat er zu den Schenkeln von <math>\alpha</math> .......<br /><br />
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[[Lösung Aufgabe 11.05 WS_12_13]]
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=Aufgabe 11.06=
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Es sei <math>P</math> ein Punkt aus dem Inneren des Winkels <math>\alpha</math>. Der Scheitel von <math>\alpha</math> sei der Punkt <math>S</math>. P möge zu den Schenkeln von <math>\alpha</math> jeweils denselben Abstand haben. Beweisen Sie: <math>SP^+</math> ist die Winkelhalbierende von <math>\alpha</math>. Tip: Ssw hilft.
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[[Lösung Aufgabe 11.06 WS_12_13]]
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=Aufgabe 11.07=
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Die Implikationen aus 11.05 und 11.06 lassen sich zu einer Äquivalenz zusammenfassen:<br />
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Ein beliebiger Punkt <math>P</math> aus dem Inneren eines Winkels <math>\alpha</math> ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden von <math>\alpha</math>, wenn .......
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[[Lösung Aufgabe 11.07 WS_12_13]]
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=Aufgabe 11.08=
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Beweisen Sie die folgenden Korollare aus dem ´schwachen Außenwinkelsatz:
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==Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz ==
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::In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.
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==Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz ==
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::Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.
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==Korollar 3 zum schwachen Außenwinkelsatz==
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::Sollte ein Dreieck rechtwinklig sein, dann ist der rechte Winkel der größte aller Innenwinkel dieses Dreiecks.
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[[Lösung Aufgabe 11.08 WS_12_13]]
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=Aufgabe 11.09=
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Beweisen Sie: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
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:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
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[[Lösung Aufgabe 11.09 WS_12_13]]
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=Aufgabe 11.10=
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Wir beziehen uns auf den Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes aus der Vorlesung vom 18. Januar 2013.<br /><br />
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Der Punkt P sei in der beschriebenen Art und Weise konstruiert.
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Es blieb zu zeigen, dass <math>P</math> im Inneren von <math>\beta'</math> liegt. Was das bedeutet ist klar:
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# <math>P \in AB,C^-</math>
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# <math>P \in BC,A^+</math>
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Teil 1 war einfach, wir haben <math>P</math> ja schließlich so konstruiert.
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Teil 2 hätten wir auch dann gezeigt, wenn wir nachweisen, dass <math>P</math> im Inneren von des Winkels <math>\angle ACB</math> liegt. Das Innere von <math>\angle ACB</math> ist schließlich nichts anderes als die Schnittmenge der beiden Halbebene <math>AC,B^+</math> und <math>BC.A^+</math>. Von diesen beiden Halbebenen interessiert uns eigentlich nur <math>BC.A^+</math>. Aber gut, wenn <math>P</math> im Inneren von <math>\angle ACB</math> liegen würde, dann würde <math>P</math> natürlich auch in <math>BC,A^+</math> liegen.
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Beweisen unter Verwendung der [[Lemmata zu Winkeln]], dass <math>P</math> im Inneren von des Winkels <math>\angle ACB</math> liegt.
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[[Lösung Aufgabe 11.10 WS_12_13]]

Aktuelle Version vom 23. Januar 2013, 11:55 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Aufgabe 11.01

Formulieren Sie die Umkehrung des Basiswinkelsatzes.

Lösung Aufgabe 11.01 WS_12_13

Aufgabe 11.02

Es seien A, B, C drei nicht kollineare Punkte. Die Winkel \alpha=\angle CAB und \beta= \angle CBA seien kongruent zueinander.
Behauptung:

\overline{AC} \tilde= \overline{BC}


Ergänzen Sie den folgenden Beweis

(H) Hilfskonstruktion:

m_c sei die Mittelsenkrechte der Strecke \overline{AB}.
Begründung, dass die Hilfskonstruktion angewendet werden kann:
.................................................

Was wäre wenn

Wenn die Mittelsenkrechte m_c durch C gehen würde, wären die Strecken \overline{CA} und \overline{CB} kongruent zueinander.
Begründung hierfür:
..................................................

Was wäre wenn nicht

Annahme: C \not \in m_c


Nr. Beweischritt Begründung
(1) m_c schneidet o.B.d.A. \overline{CA} in einem Punkt, den wir c^* nennen wollen ...
(2) \overline{C^*A} \tilde= \overline{C^*B} ...
(3) \alpha \tilde= \angle C^*BA ...
(4) \beta \tilde= \alpha ...
(5) \beta \tilde= \angle C^*BA ...

Der Rest schreiben wir als kleinen Aufsatz:

Die beiden Winkel \beta und \angle C^*BA sind also nach der bisherigen Beweisführung kongruent bzw. haben dieselbe Größe.
Weil sie auch den Schenkel BA^+ gemeinsam haben und C und C^* in derselben Halbebene bzgl. AB liegen,
müssen die die Schenkel BC^+ und BC^{*+} nach dem ... identisch sein.
Wegen dieser Identität der beiden Strahlen BC^+ und BC^{*+} und weil C der Schnittpunkt von BC mit AC und C^{*} der Schnittpunkt von BC^* mit AC ist, sind ..... identisch.

Wegen dieser Identität geht die Mittelsenkrechte m_c durch den Punkt C. Wir haben uns schon überlegt, dass in diesem Fall \overline{AC} \tilde= \overline{BC} gilt. q.e.d.


Lösung Aufgabe 11.02 WS_12_13

Aufgabe 11.03

Es sei \alpha ein Winkel mit den Schenkeln g und h und dem Scheitel S. Ferner sei w die Winkelhalbierende von \alpha, also ein Strahl im Inneren von \alpha, der als Anfangspunkt S hat und \alpha in zwei kongruente Teilwinkel \alpha_1 und \alpha_2 teilt. Auf w sei ein beliebiger von S verschiedener Punkt P gegeben. F_g sei der Fußpunkt des Lotes von P auf h:



Wir konstruieren jetzt auf dem Schenkel h den Punkt F_g, indem wir auf h den Abstand |SF_g| abtragen:





Beweisen Sie: F_g ist der Fußpunkt des Lotes von P auf g.

Lösung Aufgabe 11.03 WS_12_13

Aufgabe 11.04

Definieren Sie: Abstand eines Punktes P zu einer Geraden g:

Lösung Aufgabe 11.04 WS_12_13


Aufgabe 11.05

Ergänzen Sie die folgende Implikation:
Wenn ein Punkt P zur Winkelhalbierenden des Winkels \alpha gehört, dann hat er zu den Schenkeln von \alpha .......


Lösung Aufgabe 11.05 WS_12_13


Aufgabe 11.06

Es sei P ein Punkt aus dem Inneren des Winkels \alpha. Der Scheitel von \alpha sei der Punkt S. P möge zu den Schenkeln von \alpha jeweils denselben Abstand haben. Beweisen Sie: SP^+ ist die Winkelhalbierende von \alpha. Tip: Ssw hilft.

Lösung Aufgabe 11.06 WS_12_13

Aufgabe 11.07

Die Implikationen aus 11.05 und 11.06 lassen sich zu einer Äquivalenz zusammenfassen:

Ein beliebiger Punkt P aus dem Inneren eines Winkels \alpha ist genau dann ein Punkt der Winkelhalbierenden von \alpha, wenn .......

Lösung Aufgabe 11.07 WS_12_13


Aufgabe 11.08

Beweisen Sie die folgenden Korollare aus dem ´schwachen Außenwinkelsatz:


Korollar 1 zum schwachen Außenwinkelsatz

In jedem Dreieck sind mindestens zwei Innenwinkel spitze Winkel.

Korollar 2 zum schwachen Außenwinkelsatz

Die Summe der Größen zweier Innenwinkel eines Dreiecks ist stets kleiner als 180.

Korollar 3 zum schwachen Außenwinkelsatz

Sollte ein Dreieck rechtwinklig sein, dann ist der rechte Winkel der größte aller Innenwinkel dieses Dreiecks.

Lösung Aufgabe 11.08 WS_12_13


Aufgabe 11.09

Beweisen Sie: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)

Zu jedem Punkt \ P außerhalb einer Geraden \ g gibt es genau ein Lot von \ P auf \ g.


Lösung Aufgabe 11.09 WS_12_13


Aufgabe 11.10

Wir beziehen uns auf den Beweis des schwachen Außenwinkelsatzes aus der Vorlesung vom 18. Januar 2013.

Der Punkt P sei in der beschriebenen Art und Weise konstruiert.


Es blieb zu zeigen, dass P im Inneren von \beta' liegt. Was das bedeutet ist klar:

  1. P \in AB,C^-
  2. P \in BC,A^+

Teil 1 war einfach, wir haben P ja schließlich so konstruiert.


Teil 2 hätten wir auch dann gezeigt, wenn wir nachweisen, dass P im Inneren von des Winkels \angle ACB liegt. Das Innere von \angle ACB ist schließlich nichts anderes als die Schnittmenge der beiden Halbebene AC,B^+ und BC.A^+. Von diesen beiden Halbebenen interessiert uns eigentlich nur BC.A^+. Aber gut, wenn P im Inneren von \angle ACB liegen würde, dann würde P natürlich auch in BC,A^+ liegen.

Beweisen unter Verwendung der Lemmata zu Winkeln, dass P im Inneren von des Winkels \angle ACB liegt.

Lösung Aufgabe 11.10 WS_12_13

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