Serie 5 SoSe 2013: Unterschied zwischen den Versionen

Lesen Sie vorab das Skript

Aufgabe 5.01

Wir betrachten das folgende Modell M für die Inzidenzgeometrie Modellpunkte:
P = {A,B,C,D}
Modellgeraden:
G = {{A,B}, {A,C}, {A,D}, {B,C}, {B,D}}
Inzidenz:
Elementbeziehung
a) Warum ist M kein Modell für die ebene Inzidenzgeometrie?
b) Ergänzen Sie M derart, dass alle Axiome der ebenen Inzidenz erfüllt sind.
Lösung von Aufgabe 5.01 S SoSe 13

Aufgabe 5.02

Die Axiome eines Axiomensystems sollen unabhängig voneinander sein. Was versteht man darunter?

Lösung von Aufgabe 5.02 S SoSe 13

Aufgabe 5.03

Die Axiome eines Axiomensystems sollen widerspruchsfrei sein. Was versteht man darunter?

Lösung von Aufgabe 5.03 S SoSe 13

Aufgabe 5.04

Satz I: Je drei nicht kollineare Punkte sind paarweise verschieden.

1. Wir formulieren Satz I neu und beginnen mit „Es seien , und drei Punkte.“ Ergänzen Sie: „Wenn , und … , dann … .“
2. Beweisen Sie Satz I indirekt mit Widerspruch.
3. Bilden Sie die Kontraposition von Satz I.
4. Beweisen Sie auch die Kontraposition von Satz I.
5. Formulieren Sie die Umkehrung von Satz I.
6. Gilt auch die Umkehrung von Satz I?

Lösung von Aufgabe 5.04 S SoSe 13

Aufgabe 5.05

Beweisen Sie Satz I.6: Eine Ebene und eine nicht in ihr liegende Gerade haben höchstens einen Punkt gemeinsam.

Lösung von Aufgabe 5.05 S SoSe 13

Aufgabe 5.06

Definieren Sie den Begriff der Komplanarität für Punkte. Ab wieviel Punkte macht der Begriff Sinn? Begründen Sie Ihre Antwort.

Lösung von Aufgabe 5.06 S SoSe 13

Aufgabe 5.07

Man muß jederzeit an Stelle von ‚Punkten‘, ‚Geraden‘, ‚Ebenen‘, ‚Tische‘, ‚Stühle‘, ‚Bierseidel‘ sagen können.
David Hilbert (1862-1943)

Interpretieren Sie die Aussage von Hilbert bezüglich der axiomatischen Geometrie. Hinweis: Der Begriff des Modells hilft.

Lösung von Aufgabe 5.07 S SoSe 13

Aufgabe 5.08

Wir schreiben das Jahr 2022. Sie sind eine gestandene Mathematiklehrerin/ ein gestandener Mathematiklehrer. Das Blatt hat sich inzwischen gewendet und die Erleichterungspädagogik (Du magst keine Mathematik, dann sing doch ein Lied hat.) ist nicht mehr gesellschaftsfähig. Stattdessen haben Hardcoremathematiker bezüglich des Mathematikunterrichts das Sagen. Die Lehrmittelverlage (die Pharmaindustrie der Bildung) freut sich und produziert neuen Content (hard und soft/ Hauptsache es bringt Geld). Ein Außendienstler von KlättKotza erscheint bei Ihnen und möchte Ihnen einen Schülersatz Modelle für die Inzidenzgeometrie verkaufen:" Schauen Sie mal da hätten wir jeweils drei Flummis als Modellpunkte für die räumliche Inzidenzgeometrie. Schüler lieben Flummis und unsere Flummis enthalten zwar krebserregende Weichmacher, die entweichen jedoch erst in 123 Jahren."