Schubspiegelung (2011/12): Unterschied zwischen den Versionen
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==Die Idee== | ==Die Idee== | ||
− | Entsprechend der Bezeichnung ''Schubspiegelung'' würde man unter einer Schubspiegelung dir Nacheinanderausführung Einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung verstehen. Diese Idee ist auch exakt das, was man unter einer Scubspieglung versteht. Trotzdem | + | Entsprechend der Bezeichnung ''Schubspiegelung'' würde man unter einer Schubspiegelung dir Nacheinanderausführung Einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung verstehen. Diese Idee ist auch exakt das, was man unter einer Scubspieglung versteht. Trotzdem sieht die folgende Definition wie eine Einschränkung dieser Vorstellung aus. |
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==Die Definition== | ==Die Definition== | ||
===Definition: (Schubspiegelung)=== | ===Definition: (Schubspiegelung)=== | ||
− | ::Es sei <math>V=S_b \circ S_a</math> eine | + | ::Es sei <math>V=S_b \circ S_a</math> eine Verschiebung und <math>g</math> eine Gerade, die senkrecht auf den Spiegelachsen <math>a</math> und <math>b</math> steht. Die NAF <math>S_g \circ V</math> heißt Schubspiegelung mit der Schubspiegelachse <math>g</math>.<br /> |
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+ | [[Diskussion Schubspiegelung: Was ist denn dann damit?]] | ||
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===Spiegelschiebung?=== | ===Spiegelschiebung?=== | ||
Entsprechend obiger Definition ist die NAF einer Geradenspiegelung und einer Verschiebung kommutativ,falls sie den Bedingungen der Definition ''Schubspiegelung'' genügen. | Entsprechend obiger Definition ist die NAF einer Geradenspiegelung und einer Verschiebung kommutativ,falls sie den Bedingungen der Definition ''Schubspiegelung'' genügen. | ||
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| (I) | | (I) | ||
| <math>SCH_g=S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right)</math> | | <math>SCH_g=S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right)</math> | ||
− | | die gegebene Schubspiegelung als NAF dreier | + | | die gegebene Schubspiegelung als NAF dreier Geradenspiegelungen |
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| (II) | | (II) | ||
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| (I), Assoziativität der NAF von Abbildungen | | (I), Assoziativität der NAF von Abbildungen | ||
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− | | | + | | <math>SCH_g = \left(S_b \circ S_g \right) \circ S_a</math> |
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− | | | + | | <math>SCH_g = S_b \circ \left( S_g \circ S_a \right)</math> |
− | | | + | | (III), Assoziativität der NAF von Abbildungen |
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− | | | + | | (V) |
− | | | + | | <math>SCH_g = S_b \circ \left( S_a \circ S_g \right)</math> |
− | | | + | | (IV), 2. |
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+ | | (VI) | ||
+ | | <math>SCH_g = \left(S_b \circ S_a \right) \circ S_g</math> | ||
+ | | (VI), Assoziativität der NAF von Abbildungen | ||
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+ | | <math>S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right) = \left(S_b \circ S_a \right) \circ S_g</math> | ||
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+ | Nach dem Beweis von Satz SCH/1 ist klar, dass die Einschränkung in der Definition ''Schubspiegelung'' sinnvoll ist, weil durch diese Einschränkung die Kommutativität der NAF von Geradenspiegelung und Verschiebung gewährleistet ist. | ||
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+ | Im folgenden zeigen wir dass die Einschränkung in der Definition des Begriffs ''Schubspieglung'' letztlich nicht die Menge aller Schubspiegelungen einschränkt. | ||
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+ | === Satz SCH/2=== | ||
+ | ::Jede Nacheinanderausführung einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung ist eine Schubspiegelung entsprechend der Definition ''Schubspiegelung''. | ||
+ | === Beweis === | ||
+ | ::Wir gehen aus von der NAF <math> S_g \circ </math><math>\blue \left( S_b \circ S_a \right)</math> mit <math>a \|| b</math> und <math> g \not{\perp} a, g \not{\perp} b</math>. Es gelte <math>g \cap a =S_1, g \cap b = S_2</math>. | ||
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+ | ::[[Bild:Schub_00.jpg|400px]] | ||
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+ | ::Wegen der Assoziativität der NAF von Abbildungen dürfen wir neu klammern: | ||
+ | ::<math>\red \left( S_g \circ S_b \right)</math><math>\circ S_a</math> | ||
+ | ::[[Bild:Schub_01.jpg|400px]] | ||
+ | |||
+ | ::<math>\red \left( S_g \circ S_b \right)</math> ist eine Drehung um <math>S_2</math> mit einem Drehwinkel, der doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen <math>b</math> und <math>g</math>. | ||
+ | ::Dieselbe Drehung erhält man, wenn <math>b</math> und <math>g</math> durch zwei Geraden <math>b'</math> und <math>g'</math> mit <math>b' \cap b' = \{S_2\}, \angle (b,g) \tilde= \angle (b',c')</math> ersetzt und <math>\red S_{g'} \circ S_{b'}</math> verwendet. | ||
+ | ::Wir wählen <math>b'</math> derart, dass <math>b' \perp a</math> gilt. | ||
+ | ::[[Bild:Schub_02.jpg|400px]] | ||
+ | ::Bisher haben wir damit die NAF | ||
+ | ::<math>S_g \circ \left( S_b \circ S_a \right)</math> | ||
+ | ::durch die NAF | ||
+ | ::(*) <math>\red \left( S_{g'} \circ S_{b'} \right)</math><math>\circ S_a</math> | ||
+ | ::ersetzt | ||
+ | ::Wegen der bereits mehrfach erwähnten Assoziativität dürfen wir in (*) neu klammern | ||
+ | ::[[Bild:Schub_03.jpg|400px]] | ||
+ | ::und erhalten (**) <math>S_{g'} \circ</math><math>\red \left( S_{b'} \circ S_a \right)</math>. | ||
+ | ::Weil <math>\red b' \perp a</math> gilt ist (**) identisch zu | ||
+ | ::(***) <math>S_{g'} \circ</math><math>\red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)</math> | ||
+ | ::Die Drehung <math>\red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)</math> kann wiederum durch andere geeignete Geradenspiegelungen <math>\red \left( S_{a'} \circ S_{b''}\right)</math>ersetzt werden. Wie wählen <math>\red a'</math> derart, dass <math>a' \perp g'</math> gilt. Aus <math>b'' \perp a'</math> folgt dann unmittelbar <math>b'' \|| g'</math> | ||
+ | ::[[Bild:Schub_04.jpg|400px]] | ||
+ | ::[[Bild:Schub_05.jpg|400px]] | ||
+ | ::In (***) dürfen wir wiederum neu klammern und erhalten: | ||
+ | ::(****) <math>\left( S_{g'} \circ S_{a'} \right) \circ S_{b''}</math> | ||
+ | ::Wegen <math>g' \perp a</math>`ist (****) identisch zu | ||
+ | ::(*****) <math>\left( S_{a'} \circ S_{g'} \right) \circ S_{b''}</math> | ||
+ | ::Neu klammern in (*****) liefert | ||
+ | ::<math> S_g \circ </math><math>\blue \left( S_b \circ S_a \right)</math><math>\equiv</math><math>S_{a'} \circ </math><math>\blue \left( S_{g'} \circ S_{b''}\right) </math> | ||
+ | ::[[Bild:Schub_06.jpg|400px]] | ||
+ | ::<math>S_{a'} \circ </math><math>\blue \left( S_{g'} \circ S_{b''}\right) </math> erfüllt die Bedingungen der Definition ''Schubspiegelung''. | ||
+ | ::q.e.d. | ||
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[[Kategorie:Elementargeometrie]] | [[Kategorie:Elementargeometrie]] |
Aktuelle Version vom 29. Juli 2014, 16:50 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Die Idee
Entsprechend der Bezeichnung Schubspiegelung würde man unter einer Schubspiegelung dir Nacheinanderausführung Einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung verstehen. Diese Idee ist auch exakt das, was man unter einer Scubspieglung versteht. Trotzdem sieht die folgende Definition wie eine Einschränkung dieser Vorstellung aus.
Die Definition
Definition: (Schubspiegelung)
- Es sei
eine Verschiebung und
eine Gerade, die senkrecht auf den Spiegelachsen
und
steht. Die NAF
heißt Schubspiegelung mit der Schubspiegelachse
.
- Es sei
Diskussion Schubspiegelung: Was ist denn dann damit?
Spiegelschiebung?
Entsprechend obiger Definition ist die NAF einer Geradenspiegelung und einer Verschiebung kommutativ,falls sie den Bedingungen der Definition Schubspiegelung genügen.
Satz SCH/1
- Es sei
eine Schubspieglung. Dann gilt
- Es sei
Beweis
- Es sei
.
- Die Geraden
haben damit die folgenden Eigenschaften.
- Es sei
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(I) | ![]() |
die gegebene Schubspiegelung als NAF dreier Geradenspiegelungen |
(II) | ![]() |
(I), Assoziativität der NAF von Abbildungen |
(III) | ![]() |
(II), 3. |
(IV) | ![]() |
(III), Assoziativität der NAF von Abbildungen |
(V) | ![]() |
(IV), 2. |
(VI) | ![]() |
(VI), Assoziativität der NAF von Abbildungen |
(VII) | ![]() |
(I), (VI) |
Nach dem Beweis von Satz SCH/1 ist klar, dass die Einschränkung in der Definition Schubspiegelung sinnvoll ist, weil durch diese Einschränkung die Kommutativität der NAF von Geradenspiegelung und Verschiebung gewährleistet ist.
Im folgenden zeigen wir dass die Einschränkung in der Definition des Begriffs Schubspieglung letztlich nicht die Menge aller Schubspiegelungen einschränkt.
Satz SCH/2
- Jede Nacheinanderausführung einer Verschiebung mit einer Geradenspiegelung ist eine Schubspiegelung entsprechend der Definition Schubspiegelung.
Beweis
- Wir gehen aus von der NAF
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\blue“): \blue \left( S_b \circ S_a \right)
- Wir gehen aus von der NAF
mitund
. Es gelte
.
- Wegen der Assoziativität der NAF von Abbildungen dürfen wir neu klammern:
- Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_g \circ S_b \right)
- Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_g \circ S_b \right)
ist eine Drehung ummit einem Drehwinkel, der doppelt so groß ist wie der Winkel zwischen
und
.
- Dieselbe Drehung erhält man, wenn
und
durch zwei Geraden
und
mit
ersetzt und Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red S_{g'} \circ S_{b'}
- Dieselbe Drehung erhält man, wenn
verwendet.
.
- Weil Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red b' \perp a
gilt ist (**) identisch zu
- (***)
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)
- (***)
- Die Drehung Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_{a} \circ S_{b'}\right)
kann wiederum durch andere geeignete Geradenspiegelungen Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red \left( S_{a'} \circ S_{b''}\right)
ersetzt werden. Wie wählen Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\red“): \red a'
derart, dassgilt. Aus
folgt dann unmittelbar
![]()
Fehler beim Parsen(Unbekannte Funktion „\blue“): \blue \left( S_{g'} \circ S_{b''}\right)
erfüllt die Bedingungen der Definition Schubspiegelung.
- q.e.d.