Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Innenwinkelgrößen eines Dreiecks: Unterschied zwischen den Versionen
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::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /> <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> | ::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /> <math>\left| a \right| >\left| b \right| \Rightarrow \left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> | ||
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+ | Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. | ||
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+ | Nach dem Dreieck müsste es doch heißen: | ||
+ | <math>|BC| > |AC| \ </math> --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:12, 20. Jul. 2010 (UTC) | ||
+ | <br />Ist das denn wichtig? Ich denke es ist nur eine Skizze, die die Bezeichnungen klärt, nicht aber Größenverhältnisse abbilden muss. Diese wiederum klärt die Voraussetzung und die Behauptung. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 19:59, 21. Jul. 2010 (UTC)<br /> | ||
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+ | Auf <math>\overline{BC}</math> gibt es jetzt genau einen Punkt <math>\ B'</math> mit <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>. | ||
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+ | Denke ich falsch, oder soll es heißen <math>\left| CB' \right| = \left| b\right|</math>??? --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC)<br /> | ||
+ | Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | Begründung der Konstruktion von <math>\ B'</math> : | ||
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+ | Nach Voraussetzung <math>\left| a\right| > \left| b \right|</math> und dem Axiom vom Lineal. --[[Benutzer:Maude001|Maude001]] 11:29, 17. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | | nach Konstruktion--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | | <math>\delta_1 \cong \delta_2</math> | ||
+ | | nach Basiswinkelsatz--[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | | <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_1 \right|</math> | ||
+ | | da <math> B' \in </math> (der offenen Strecke) <math> \overline{BC}</math>, liegt <math>\ B' </math> im Inneren von <math>\ \alpha </math>, nach "Geschichten aus dem Inneren" --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | | (iv) | ||
+ | | <math>\left| \alpha \right| > \left| \delta_2 \right|</math> | ||
+ | | (ii), (iii) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | | (v) | ||
+ | | <math>\left| \delta_2 \right| > \left| \beta \right|</math> | ||
+ | | schwacher Außenwinkelsatz --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | | <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> | ||
+ | | (iv), (v) --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | ===== Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber) ===== | ||
::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /><math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math> | ::Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen. <br /><math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|\Rightarrow \left| a \right| >\left| b \right| </math> | ||
+ | ===== Beweis von Satz IX.3 ===== | ||
+ | [[Lösung_von_Aufgabe_13.1| Lösung von Aufgabe 13.1]] | ||
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+ | Es sei <math>\overline{ABC}</math> ein Dreieck. | ||
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+ | <math>\left| \alpha \right| > \left| \beta \right|</math> | ||
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+ | Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche? | ||
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+ | 1.) Wenn a = b, dann ist <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math> | ||
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+ | 2.) Wenn a < b, dann ist <math>\left| \alpha \right| < \left| \beta \right|</math> | ||
+ | --[[Benutzer:-mogli-|-mogli-]] 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | korrekt | ||
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+ | Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --[[Benutzer:*m.g.*|*m.g.*]] 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC) | ||
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+ | <u>Begründung:</u> | ||
+ | <br />Voraussetzung: <math>\ |\alpha| > |\beta|</math> | ||
+ | <br />Annahme:<math>|a| \le \ |b|</math> | ||
+ | <br />Aus "<math>\ \le </math>" lassen sich zwei Fälle ableiten: | ||
+ | #) <math>|a| = \ |b|</math>, dann gilt allerdings <math>\left| \alpha \right| = \left| \beta \right|</math>, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS! | ||
+ | #) <math>|a| < \ |b|</math>, das ist allerdings der Fall, wenn <math>\ |\alpha| < |\beta|</math>, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?) | ||
+ | --[[Benutzer:Heinzvaneugen|Heinzvaneugen]] 18:25, 20. Jul. 2010 (UTC) |
Aktuelle Version vom 26. Juli 2010, 10:41 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Satz IX.2: (Der größeren Seite liegt der größere Winkel gegenüber)
- Es sei
ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
- Es sei
Beweis von Satz IX.2
Es sei ein Dreieck.
Voraussetzung:
bzw.
Nach dem Dreieck müsste es doch heißen:
--Heinzvaneugen 18:12, 20. Jul. 2010 (UTC)
Ist das denn wichtig? Ich denke es ist nur eine Skizze, die die Bezeichnungen klärt, nicht aber Größenverhältnisse abbilden muss. Diese wiederum klärt die Voraussetzung und die Behauptung. --Maude001 19:59, 21. Jul. 2010 (UTC)
Auf gibt es jetzt genau einen Punkt
mit
.
Denke ich falsch, oder soll es heißen ??? --Maude001 11:25, 17. Jul. 2010 (UTC)
Ich würde auch sagen, dass da ein "=" hinmuss.--Löwenzahn 11:43, 17. Jul. 2010 (UTC)
Begründung der Konstruktion von :
...
Nach Voraussetzung und dem Axiom vom Lineal. --Maude001 11:29, 17. Jul. 2010 (UTC)
Wie geht es weiter?
Nr. | Beweisschritt | Begründung |
---|---|---|
(i) | ![]() |
nach Konstruktion---mogli- 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC) |
(ii) | ![]() |
nach Basiswinkelsatz---mogli- 15:45, 17. Jul. 2010 (UTC) |
(iii) | ![]() |
da ![]() ![]() ![]() ![]() |
(iv) | ![]() |
(ii), (iii) --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC) |
(v) | ![]() |
schwacher Außenwinkelsatz --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC) |
(vi) | ![]() |
(iv), (v) --Löwenzahn 10:05, 18. Jul. 2010 (UTC) |
Satz IX.3: (Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber)
- Es sei
ein Dreieck mit den schulüblichen Bezeichnungen.
- Es sei
Beweis von Satz IX.3
Es sei ein Dreieck.
Voraussetzung:
Behauptung:
Annahme:
Es ergeben sich sofort zwei Widersprüche. Welche?
1.) Wenn a = b, dann ist
2.) Wenn a < b, dann ist
---mogli- 15:44, 17. Jul. 2010 (UTC)
korrekt
Sie müssen allerdings noch begründen, warum sich diese Widersprüche ergeben. Für die Führung eines indirekten Beweises isr es ferner wichtig, aufzuzeigen, wozu sich der Widerspruch ergibt. --*m.g.* 06:38, 19. Jul. 2010 (UTC)
Begründung:
Voraussetzung:
Annahme:
Aus "" lassen sich zwei Fälle ableiten:
- )
, dann gilt allerdings
, da es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, bei dem bekanntlich die Basiswinkel kongruent sind --> Widerspruch zur VSS!
- )
, das ist allerdings der Fall, wenn
, siehe Beweis "Satz IX.2" --> Widerspruch zu VSS! (Oder muss an dieser Stelle der Beweis der Umkehrung geführt werden?)
--Heinzvaneugen 18:25, 20. Jul. 2010 (UTC)