Das Lot von einem Punkt auf eine Gerade: Unterschied zwischen den Versionen

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== Der Begriff des Lotes ==
 
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===== Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt) =====
 
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:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ...<br />
 
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt, der nicht zur Geraden <math>\ g</math> gehören möge. ...<br />
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:: ...Die Gerade l, die senkrecht auf g steht und durch den Punkt P geht heißt Lotgerade von P auf g. Der Schnittpunkt L von l mit g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von P auf g. Unter dem Lot von P auf g, versteht man die Strecke <math> \overline {PL} </math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)
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:: ...Die Gerade <math>\ l</math>, die senkrecht auf <math>\ g</math> steht und durch den Punkt <math>\ P</math> geht heißt Lotgerade von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Der Schnittpunkt <math>\ L</math> von <math>\ l</math> mit <math>\ g</math>, heißt Lotfußpunkt des Lotes von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. Unter dem Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>, versteht man die Strecke <math> \overline {PL} </math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)
  
 
===== Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden) =====
 
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:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ...  
 
:: Es sei <math>\ P</math> ein Punkt außerhalb von <math>\ g</math>. Der Abstand von <math>\ P</math> zu <math>\ g</math> ist ...  
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:: ... die Länge der Strecke <math> \overline {PL} </math>, wobei <math>\ L</math> der Lotfußpunkt von <math>\ P</math> auf g ist.
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:: ... die Länge des Lotes <math> \overline {PL} </math> von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>. --[[Benutzer:Löwenzahn|Löwenzahn]] 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)
  
 
== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
 
== Existenz und Eindeutigkeit des Lotes ==
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===== Satz XI.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes) =====
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:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
 
:: Zu jedem Punkt <math>\ P</math> außerhalb einer Geraden <math>\ g</math> gibt es genau ein Lot von <math>\ P</math> auf <math>\ g</math>.
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===== Beweis der Exisatenz und Eindeutigkeit des Lotes: =====
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Aktuelle Version vom 26. Juli 2010, 11:05 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Der Begriff des Lotes

Definition IX.1: (Lot, Lotgerade, Lotfußpunkt)
Es sei \ P ein Punkt, der nicht zur Geraden \ g gehören möge. ...
...Die Gerade \ l, die senkrecht auf \ g steht und durch den Punkt \ P geht heißt Lotgerade von \ P auf \ g. Der Schnittpunkt \ L von \ l mit \ g, heißt Lotfußpunkt des Lotes von \ P auf \ g. Unter dem Lot von \ P auf \ g, versteht man die Strecke \overline {PL} . --Löwenzahn 16:01, 9. Jul. 2010 (UTC)
Definition IX.2: (Abstand eines Punktes zu einer Geraden)
Es sei \ P ein Punkt außerhalb von \ g. Der Abstand von \ P zu \ g ist ...
... die Länge des Lotes \overline {PL} von \ P auf \ g. --Löwenzahn 16:06, 9. Jul. 2010 (UTC)

Existenz und Eindeutigkeit des Lotes

Satz IX.1: (Existenz und Eindeutigkeit des Lotes)
Zu jedem Punkt \ P außerhalb einer Geraden \ g gibt es genau ein Lot von \ P auf \ g.
Beweis der Existenz und Eindeutigkeit des Lotes:

Lösung von Aufgabe 12.4

Lot.png

EXISTENZ
Beweisschritt Begründung
(I) Konstruiere einen Punkt N auf g.
Fall 1: Falls P1N \perp g, dann ist \overline{P1N} unser Lot.
Fall 2: P1N \not\perp g, dann weiter mit (II) 		Konstruktion, (Gerade ist Menge von Punkten)
(II) Antragen von \alpha1: \alpha1 \cong \alpha2 Konstruktion, Winkelkonstruktionsaxiom
(III) Antragen von |NP|1: |NP1| \cong\ |NP2| Konstruktion, Axiom vom Lineal
(IV) Antragen von |NL| \cong\ |NL| trivial
(V) \overline{LNP1} \cong\ \overline{LNP2} (II), (III), (IV), SWS
(VI) \angle NLP1 \cong\ \angle NLP2 beides rechte Winkel --> \overline{PN} ist Lot auf g.


Lot2.png

\overline{P1L} ist Lot von P auf g.
Annahme: \exists N \in g mit \overline{P1N} ist auch Lot von P auf g, L \not\equiv N.
\alpha1 ist bezüglich \alpha nicht anliegender Innenwinkel (\overline{NLP1}) --> Widerspruch, weil \alpha1 < \alpha (schwacher Außenwinkelsatz)

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